Номер 7, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Известно, что многочлен $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ имеет целочисленные корни. Какие из указанных ниже чисел могут быть корнями многочлена: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6?

Для того чтобы определить, какие из указанных чисел являются корнями многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, воспользуемся теоремой о целых корнях многочлена с целыми коэффициентами. Согласно этой теореме, любой целый корень такого многочлена должен быть делителем его свободного члена.

Свободный член нашего многочлена равен 6. Его целые делители: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Следовательно, только эти числа могут быть целыми корнями. Из предложенного в задаче списка (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6) мы можем сразу исключить те, которые не являются делителями числа 6. Это числа 4, -4, 5, -5. Они не могут быть корнями.

Теперь проверим остальные числа из списка, подставляя их в многочлен. Число $x_0$ является корнем, если $P(x_0) = 0$.

1
Проверяем $x=1$:
$P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$.
Да, 1 является корнем.

-1
Проверяем $x=-1$:
$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 \neq 0$.
Нет, -1 не является корнем.

2
Проверяем $x=2$:
$P(2) = 2^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 \neq 0$.
Нет, 2 не является корнем.

-2
Проверяем $x=-2$:
$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0$.
Да, -2 является корнем.

3
Проверяем $x=3$:
$P(3) = 3^3 - 2(3)^2 - 5(3) + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$.
Да, 3 является корнем.

-3
Проверяем $x=-3$:
$P(-3) = (-3)^3 - 2(-3)^2 - 5(-3) + 6 = -27 - 18 + 15 + 6 = -24 \neq 0$.
Нет, -3 не является корнем.

6
Проверяем $x=6$:
$P(6) = 6^3 - 2(6)^2 - 5(6) + 6 = 216 - 72 - 30 + 6 = 120 \neq 0$.
Нет, 6 не является корнем.

-6
Проверяем $x=-6$:
$P(-6) = (-6)^3 - 2(-6)^2 - 5(-6) + 6 = -216 - 72 + 30 + 6 = -252 \neq 0$.
Нет, -6 не является корнем.

Таким образом, из всех предложенных чисел корнями многочлена являются 1, -2 и 3.
Ответ: 1, -2, 3.