Номер 1, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте теорему о тождественности двух многочленов от одной переменной.

Теорема о тождественности двух многочленов от одной переменной устанавливает условия, при которых два многочлена считаются равными для любых значений переменной. Существует несколько эквивалентных формулировок этой теоремы.

Формулировка через коэффициенты

Эта формулировка является основной и наиболее часто используемой. Она гласит:
Два многочлена от одной переменной тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Более формально, пусть даны два многочлена $P(x)$ и $Q(x)$:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
$Q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0$
Тождество $P(x) \equiv Q(x)$ (то есть равенство, верное для всех значений $x$) выполняется тогда и только тогда, когда $n = m$ и $a_i = b_i$ для всех $i$ от $0$ до $n$.

Важным следствием из этой теоремы является то, что многочлен тождественно равен нулю ($P(x) \equiv 0$) тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю ($a_n = a_{n-1} = \dots = a_0 = 0$).

Формулировка через значения в точках

Эта формулировка предоставляет критерий тождественности, основанный на значениях, которые многочлены принимают. Она гласит:
Два многочлена, степень каждого из которых не превышает $n$, тождественно равны тогда и только тогда, когда их значения совпадают по крайней мере в $n+1$ различных точках.

То есть, если для многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ (где $\deg P(x) \le n$ и $\deg Q(x) \le n$) существуют $n+1$ различных чисел $x_0, x_1, \dots, x_n$ таких, что $P(x_k) = Q(x_k)$ для всех $k = 0, 1, \dots, n$, то из этого следует, что $P(x) \equiv Q(x)$.

Эта формулировка основывается на фундаментальном свойстве многочленов: ненулевой многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней. Рассматривая разность $R(x) = P(x) - Q(x)$, мы видим, что ее степень не превышает $n$. Однако $R(x)$ обращается в ноль в $n+1$ точке ($x_0, \dots, x_n$), что означает, что он имеет $n+1$ корень. Это возможно только если $R(x)$ является нулевым многочленом, т.е. $R(x) \equiv 0$. А это, в свою очередь, означает, что $P(x) \equiv Q(x)$.

Ответ: Два многочлена от одной переменной $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ и $Q(x) = b_m x^m + \dots + b_0$ тождественно равны тогда и только тогда, когда их степени равны ($n=m$) и коэффициенты при одинаковых степенях переменной также равны ($a_i = b_i$ для всех $i = 0, \dots, n$). Альтернативно, два многочлена степени не выше $n$ тождественно равны, если их значения совпадают в $n+1$ различных точках.