Номер 2, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Дано тождество

$x^3 - 5x^2 + 2x + 3 = ax^3 + bx^2 + (a+1)x + b^2 - 12$

Найдите значения параметров $a$ и $b$.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Данное тождество имеет вид:

$x^3 - 5x^2 + 2x + 3 = ax^3 + bx^2 + (a + 1)x + b^2 - 12$

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$ в левой и правой частях уравнения.

Для степени $x^3$:

$1 = a$

Для степени $x^2$:

$-5 = b$

Для степени $x^1$:

$2 = a + 1$

Для свободных членов (степень $x^0$):

$3 = b^2 - 12$

Мы получили систему уравнений для нахождения параметров $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a = 1 \\ b = -5 \\ a + 1 = 2 \\ b^2 - 12 = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения системы сразу находим значение $a = 1$. Проверим это значение, подставив его в третье уравнение:

$1 + 1 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, $a = 1$ удовлетворяет обоим условиям.

Из второго уравнения системы находим значение $b = -5$. Проверим это значение, подставив его в четвертое уравнение:

$(-5)^2 - 12 = 3$

$25 - 12 = 3$

$13 = 3$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что условия для параметра $b$, полученные из коэффициентов при $x^2$ и из свободных членов, противоречат друг другу. Следовательно, система уравнений не имеет решения.

Таким образом, не существует таких значений параметров $a$ и $b$, при которых данное равенство является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Не существует таких значений $a$ и $b$, при которых данное равенство является тождеством.