Номер 3, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сформулируйте теорему о делении с остатком многочлена на многочлен.

Теорема о делении с остатком для многочленов является фундаментальным результатом в алгебре и формулируется следующим образом.

Для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель) с коэффициентами из некоторого поля (например, поля действительных чисел $\mathbb{R}$ или комплексных чисел $\mathbb{C}$), где $B(x)$ не является нулевым многочленом ($B(x) \not\equiv 0$), существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) таких, что выполняется тождественное равенство:

$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$

При этом степень многочлена-остатка $R(x)$ строго меньше степени многочлена-делителя $B(x)$, либо остаток $R(x)$ является нулевым многочленом. Формально это условие записывается так:

$\text{deg}(R(x)) < \text{deg}(B(x))$ или $R(x) \equiv 0$

Ключевые аспекты и пояснения к теореме:

1. Существование и единственность. Теорема утверждает не только то, что такие частное и остаток существуют для любой пары многочленов (с ненулевым делителем), но и то, что они определены однозначно. Это позволяет говорить о делении с остатком как о корректно определённой операции.

2. Условие на степень остатка. Это важнейшая часть теоремы, которая и обеспечивает единственность результата. Если бы степень $R(x)$ могла быть равна или больше степени $B(x)$, то можно было бы продолжить процесс деления, "извлекая" из $R(x)$ еще слагаемые, кратные $B(x)$, что привело бы к неоднозначности частного и остатка. Этот принцип полностью аналогичен делению целых чисел, где остаток всегда неотрицателен и строго меньше модуля делителя.

3. Деление нацело. Важный частный случай возникает, когда остаток $R(x)$ оказывается нулевым многочленом ($R(x) \equiv 0$). Тогда говорят, что многочлен $A(x)$ делится на многочлен $B(x)$ нацело (или без остатка). Равенство в этом случае принимает вид $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$. Это означает, что $B(x)$ является делителем (или множителем) многочлена $A(x)$.

4. Алгоритм нахождения. Конструктивным доказательством существования, а также практическим способом нахождения частного $Q(x)$ и остатка $R(x)$ является алгоритм деления многочленов "столбиком" (или "уголком"), который работает аналогично алгоритму деления столбиком для целых чисел.

Ответ: Для любых двух многочленов $A(x)$ и $B(x)$, где $B(x)$ не является нулевым многочленом, существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такая что справедливо тождество $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, причём степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.