Номер 2, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что такое однородное уравнение третьей степени с двумя переменными? Приведите пример.

Что такое однородное уравнение третьей степени с двумя переменными?

Однородное уравнение третьей степени с двумя переменными — это алгебраическое уравнение, содержащее две переменные (например, $x$ и $y$), у которого все члены имеют одинаковую степень, равную трем. Степенью члена (одночлена) называется сумма показателей степеней входящих в него переменных.

В общем виде такое уравнение записывается как:
$Ax^3 + Bx^2y + Cxy^2 + Dy^3 = 0$
где $x$ и $y$ — переменные, а $A, B, C, D$ — числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

Проверим степени каждого члена в общем виде:

• Степень одночлена $Ax^3$ равна 3.
• Степень одночлена $Bx^2y$ равна $2+1=3$.
• Степень одночлена $Cxy^2$ равна $1+2=3$.
• Степень одночлена $Dy^3$ равна 3.

Так как все члены многочлена в левой части уравнения имеют одну и ту же степень (3), уравнение является однородным третьей степени.

Ответ: Однородным уравнением третьей степени с двумя переменными называется уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — многочлен, у которого сумма степеней переменных в каждом члене равна 3. Его общий вид: $Ax^3 + Bx^2y + Cxy^2 + Dy^3 = 0$.

Приведите пример.

Примером однородного уравнения третьей степени с двумя переменными может служить следующее уравнение:
$x^3 + 6x^2y - 11xy^2 - 6y^3 = 0$

В данном уравнении:

• член $x^3$ имеет степень 3;
• член $6x^2y$ имеет степень $2+1=3$;
• член $-11xy^2$ имеет степень $1+2=3$;
• член $-6y^3$ имеет степень 3.

Все члены уравнения имеют степень 3, следовательно, это однородное уравнение третьей степени.

Ответ: $x^3 + 6x^2y - 11xy^2 - 6y^3 = 0$.