Номер 4, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. В каком случае систему $ \begin{cases} p(x; y) = a, \\ q(x; y) = b \end{cases} $ называют однородной?

Опишите алгоритм её решения.

В каком случае систему $\begin{cases} p(x; y) = a, \\ q(x; y) = b \end{cases}$ называют однородной?

Систему уравнений называют однородной, если функции $p(x, y)$ и $q(x, y)$, стоящие в левых частях уравнений, являются однородными многочленами одной и той же степени $n$.

Напомним, что многочлен $P(x, y)$ называется однородным многочленом степени $n$, если для любого числа $t \ne 0$ выполняется тождество $P(tx, ty) = t^n P(x, y)$. Проще говоря, это многочлен, у которого все его члены (одночлены) имеют одинаковую суммарную степень. Например, многочлен $p(x, y) = 2x^3 - 5x^2y + 7y^3$ является однородным многочленом третьей степени, так как степени всех его одночленов ($2x^3$, $-5x^2y$, $7y^3$) равны 3.

Пример однородной системы уравнений:

Здесь $p(x, y) = x^2 + 3xy$ и $q(x, y) = y^2 - 2xy$ — это однородные многочлены второй степени.

Ответ: Систему называют однородной, если левые части уравнений, $p(x, y)$ и $q(x, y)$, являются однородными многочленами одной и той же степени.

Опишите алгоритм её решения.

Алгоритм решения такой системы основан на сведении её к одному однородному уравнению, которое затем решается с помощью подстановки $y = kx$ (или $x = ky$). Это позволяет найти отношение между переменными, а затем и сами переменные.

Алгоритм решения для случая, когда $a$ и $b$ не равны нулю одновременно:

1. Получение однородного уравнения. Если $a=0$ или $b=0$, то одно из уравнений системы уже является однородным. Если же $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то для получения однородного уравнения нужно избавиться от свободных членов. Для этого умножим первое уравнение системы на $b$, а второе на $a$: $$ \begin{cases} b \cdot p(x, y) = ab \\ a \cdot q(x, y) = ab \end{cases} $$ Приравнивая левые части, получаем однородное уравнение: $$ b \cdot p(x, y) = a \cdot q(x, y) \quad \Rightarrow \quad b \cdot p(x, y) - a \cdot q(x, y) = 0 $$
2. Проверка случая $x=0$. Подставляем $x=0$ в исходную систему и решаем её относительно $y$. Если решения существуют, то полученные пары $(0, y)$ являются решениями исходной системы.
3. Введение подстановки $y = kx$. Для поиска решений, где $x \ne 0$, вводим новую переменную $k$ через подстановку $y = kx$. Подставляем это выражение в однородное уравнение, полученное на шаге 1 (или в одно из исходных, если оно было однородным). Пусть степень однородности многочленов $p$ и $q$ равна $n$. Тогда: $$ b \cdot p(x, kx) - a \cdot q(x, kx) = 0 $$ Используя свойство однородности $p(x, kx) = x^n p(1, k)$ и $q(x, kx) = x^n q(1, k)$, получаем: $$ b \cdot x^n p(1, k) - a \cdot x^n q(1, k) = 0 $$ Выносим $x^n$ за скобки: $$ x^n (b \cdot p(1, k) - a \cdot q(1, k)) = 0 $$
4. Нахождение отношения $k$. Так как мы рассматриваем случай $x \ne 0$, то можем разделить уравнение на $x^n$. Получаем уравнение относительно одной переменной $k$: $$ b \cdot p(1, k) - a \cdot q(1, k) = 0 $$ Решаем это уравнение и находим все его действительные корни $k_1, k_2, \ldots$.
5. Нахождение переменных $x$ и $y$. Для каждого найденного значения $k_i$ выполняем обратную подстановку $y = k_i x$ в одно из исходных уравнений (например, в $p(x, y) = a$): $$ p(x, k_i x) = a \quad \Rightarrow \quad x^n p(1, k_i) = a $$ Решаем это уравнение относительно $x$. Для каждого найденного значения $x$ вычисляем соответствующее значение $y$ по формуле $y = k_i x$. Полученные пары $(x, y)$ являются решениями системы.
6. Формирование итогового ответа. Объединяем все решения, найденные на шаге 2 (для $x=0$) и на шаге 5, чтобы получить полный набор решений системы.

Ответ: Алгоритм заключается в сведении системы к одному однородному уравнению, решении его с помощью подстановки $y=kx$ для нахождения отношения $k$ между переменными, и последующей подстановке этого отношения в одно из исходных уравнений для нахождения значений самих переменных $x$ и $y$. Также необходимо отдельно проверить случай $x=0$.