Номер 2, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как преобразовать уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$, где $a, b, c$ — целые числа, в приведённое уравнение с целыми коэффициентами? В чём смысл этого преобразования?

Как преобразовать уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$, где a, b, c - целые числа, в приведённое уравнение с целыми коэффициентами?

Приведённым называется уравнение, в котором коэффициент при старшей степени переменной равен единице. В нашем случае это означает, что коэффициент при $x^3$ должен стать равным 1. Простое деление всего уравнения на $a$ приведёт к дробным коэффициентам $\frac{b}{a}$, $\frac{c}{a}$ и $\frac{1}{a}$, что не удовлетворяет условию о целых коэффициентах.

Чтобы выполнить преобразование, используется метод замены переменной. Пусть новая переменная $y$ связана со старой переменной $x$ соотношением $y = ax$. Отсюда $x = \frac{y}{a}$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$a\left(\frac{y}{a}\right)^3 + b\left(\frac{y}{a}\right)^2 + c\left(\frac{y}{a}\right) + 1 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a\frac{y^3}{a^3} + b\frac{y^2}{a^2} + c\frac{y}{a} + 1 = 0$

$\frac{y^3}{a^2} + \frac{by^2}{a^2} + \frac{cy}{a} + 1 = 0$

Теперь, чтобы избавиться от знаменателей и получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на $a^2$ (мы можем это сделать, так как $a \neq 0$, иначе уравнение не было бы кубическим):

$a^2 \left( \frac{y^3}{a^2} + \frac{by^2}{a^2} + \frac{cy}{a} + 1 \right) = a^2 \cdot 0$

$y^3 + by^2 + acy + a^2 = 0$

Полученное уравнение является приведённым, так как коэффициент при $y^3$ равен 1. Все остальные коэффициенты ($b$, $ac$, $a^2$) также являются целыми, поскольку по условию $a$, $b$ и $c$ — целые числа.

Ответ: Необходимо выполнить замену переменной $y = ax$ (или $x = y/a$). В результате исходное уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$ преобразуется в приведённое уравнение с целыми коэффициентами: $y^3 + by^2 + acy + a^2 = 0$.

В чём смысл этого преобразования?

Основной смысл этого преобразования заключается в упрощении поиска рациональных корней уравнения.

Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

Для исходного уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$:
Рациональные корни $x = \frac{p}{q}$ могут существовать, где $p$ — делитель 1 (т.е. $p \in \{1, -1\}$), а $q$ — делитель $a$. Это означает, что для поиска корней нужно проверять все дроби вида $\pm\frac{1}{q}$, где $q$ — делители числа $a$.

Для преобразованного уравнения $y^3 + by^2 + acy + a^2 = 0$:
Старший коэффициент равен 1. Это частный случай теоремы (следствие), который гласит, что все рациональные корни такого уравнения являются целыми числами и делителями свободного члена, в данном случае $a^2$.

Таким образом, преобразование сводит задачу поиска рациональных корней к более простой задаче поиска целых корней. Найти целые делители числа $a^2$ и подставить их в уравнение для проверки гораздо легче, чем перебирать все возможные дроби. Если мы находим целый корень $y_0$ для нового уравнения, то соответствующий ему корень исходного уравнения легко вычисляется по формуле $x_0 = \frac{y_0}{a}$.

Ответ: Смысл преобразования состоит в том, чтобы упростить поиск рациональных корней. Вместо того чтобы искать рациональные корни исходного уравнения, можно найти целые корни преобразованного приведённого уравнения, что является значительно более простой задачей.