Номер 1, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Объясните, почему функция $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, является обратной по отношению к функции $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$, где $n = 2, 3, 4, \dots$ .

1. Чтобы доказать, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $f(x)$ совпадает с областью значений функции $g(x)$.
2. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью значений функции $f(x)$.
3. Для любого $x$ из области определения $f(x)$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$.
4. Для любого $x$ из области определения $g(x)$ выполняется равенство $f(g(x)) = x$.

Рассмотрим заданные функции:

• $f(x) = x^n$, с областью определения $D(f) = [0; +\infty)$.
• $g(x) = \sqrt[n]{x}$, с областью определения $D(g) = [0; +\infty)$.

Прежде всего, для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была монотонной на своей области определения. Функция $f(x) = x^n$ при $n \ge 2$ на промежутке $[0; +\infty)$ является строго возрастающей. При $x_2 > x_1 \ge 0$ имеем $x_2^n > x_1^n$. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений соответствует единственное значение $x$, то есть обратная функция существует.

Проверим области определения и значений.

Для функции $f(x) = x^n$ с областью определения $D(f) = [0; +\infty)$:

• При $x=0$, $f(0) = 0^n = 0$.
• Так как функция возрастает, при $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.

Следовательно, область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [0; +\infty)$.

Для функции $g(x) = \sqrt[n]{x}$ с областью определения $D(g) = [0; +\infty)$:

• При $x=0$, $g(0) = \sqrt[n]{0} = 0$.
• Так как функция (арифметический корень) возрастает, при $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$.

Следовательно, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [0; +\infty)$.

Как мы видим, $D(f) = E(g) = [0; +\infty)$ и $D(g) = E(f) = [0; +\infty)$. Первые два условия выполнены.

Проверим композиции функций.

1. Найдем композицию $g(f(x))$. Берем $x$ из области определения $f(x)$, то есть $x \in [0; +\infty)$.
$g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n}$.
Поскольку $x \ge 0$, по определению арифметического корня n-ой степени, $\sqrt[n]{x^n} = x$.
Таким образом, $g(f(x)) = x$ для всех $x \in [0; +\infty)$.

2. Найдем композицию $f(g(x))$. Берем $x$ из области определения $g(x)$, то есть $x \in [0; +\infty)$.
$f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n$.
По определению степени с рациональным показателем (или корня n-ой степени), $(\sqrt[n]{x})^n = x$.
Таким образом, $f(g(x)) = x$ для всех $x \in [0; +\infty)$.

Все условия для взаимно обратных функций выполнены. Ограничение $x \in [0; +\infty)$ для функции $y=x^n$ является ключевым. Если бы, например, при четном $n$ область определения была $(-\infty; +\infty)$, функция не была бы монотонной (например, $(-2)^2 = 2^2$), и у нее не существовало бы обратной функции на всей этой области.

Ответ: Функция $y=\sqrt[n]{x}$ является обратной к функции $y=x^n$ на промежутке $[0; +\infty)$ потому, что на этом промежутке функция $y=x^n$ является строго монотонной (возрастающей), а композиции этих функций в обоих порядках дают тождественную функцию $y=x$, то есть $f(g(x)) = (\sqrt[n]{x})^n = x$ и $g(f(x)) = \sqrt[n]{x^n} = x$.