Номер 2, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Всегда ли верно равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$? Если не всегда, то приведите пример, когда оно верно, и пример, когда оно неверно.

Равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ верно не всегда.

По определению, арифметический корень четной степени из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Выражение под корнем $a^4$ всегда является неотрицательным ($a^4 \ge 0$) при любом действительном значении $a$. Следовательно, результат извлечения корня 4-й степени $\sqrt[4]{a^4}$ также должен быть неотрицательным числом.

Правая часть равенства, переменная $a$, может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные.

Общее правило для корней четной степени гласит: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ (модуль числа $x$).

Применяя это правило к нашему случаю, где $2n=4$, получаем: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Таким образом, исходное равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ эквивалентно равенству $|a| = a$. Это равенство истинно только для неотрицательных значений $a$ (то есть при $a \ge 0$). Если $a$ — отрицательное число, равенство не выполняется, так как $|a| = -a$.

Пример, когда оно верно

Равенство будет верным, если $a$ — неотрицательное число. Возьмем, к примеру, $a = 3$.

Подставляем в левую часть: $\sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81} = 3$.

Правая часть равна $a = 3$.

Получаем верное равенство $3 = 3$.

Ответ: равенство верно при $a \ge 0$, например, при $a=3$.

Пример, когда оно неверно

Равенство будет неверным, если $a$ — отрицательное число. Возьмем, к примеру, $a = -3$.

Подставляем в левую часть: $\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3$.

Правая часть равна $a = -3$.

Получаем неверное равенство $3 = -3$, что является ложью.

Ответ: равенство неверно при $a < 0$, например, при $a=-3$.