Номер 2, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$? Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$?

Функции $f(x) = x^n$ и $g(x) = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Это означает, что если применить одну функцию к результату другой, мы вернемся к исходному значению.

Проверим это математически:

1. Найдем композицию $f(g(x))$:

$f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n = x$

2. Найдем композицию $g(f(x))$:

$g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n} = x$ (поскольку по условию $x \ge 0$)

Так как $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, функции являются взаимно обратными.

Основное свойство графиков взаимно обратных функций заключается в том, что они симметричны друг другу относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = x^n$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику функции $y = \sqrt[n]{x}$.

Ответ: Графики функций $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.

Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

Рассмотрим частный случай при $n=2$: функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат. Эта ветвь проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$ и так далее.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в начале координат. Этот график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$ и так далее.

Сравним координаты точек на обоих графиках:

• Точка $(2, 4)$ лежит на графике $y = x^2$, так как $4 = 2^2$.
• Точка $(4, 2)$ лежит на графике $y = \sqrt{x}$, так как $2 = \sqrt{4}$.

Точки $(2, 4)$ и $(4, 2)$ симметричны относительно прямой $y=x$. Это справедливо для любой точки: если $(a, b)$ лежит на графике $y = x^2$ (т.е. $b=a^2$), то точка $(b, a)$ лежит на графике $y = \sqrt{x}$ (т.к. $a = \sqrt{a^2} = \sqrt{b}$).

Точки пересечения графиков $(0,0)$ и $(1,1)$ лежат на оси симметрии $y=x$.

Ниже приведена графическая иллюстрация:

Ответ: График функции $y=x^2$ для $x \ge 0$ является правой ветвью параболы, а график функции $y=\sqrt{x}$ — верхней ветвью параболы, "лежащей на боку". Эти два графика симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, что наглядно демонстрирует их свойство как взаимно обратных функций.