Номер 3, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Если $n$ — чётное натуральное число, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Чтобы определить чётность или нечётность функции, необходимо проанализировать её область определения и поведение функции для противоположных значений аргумента.

1. Определение чётности и нечётности функции.
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется два условия:

• $-x \in D(f)$ (симметрия области определения относительно нуля).
• $f(-x) = f(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется два условия:

• $-x \in D(f)$ (симметрия области определения относительно нуля).
• $f(-x) = -f(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий (в частности, симметрия области определения) не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (её называют функцией общего вида).

2. Анализ функции $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$.
В условии сказано, что $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$).По определению, арифметический корень чётной степени извлекается только из неотрицательного числа. Это связано с тем, что любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт неотрицательный результат.Следовательно, для функции $y = \sqrt[n]{x}$ с чётным показателем корня $n$ подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

3. Определение области определения.
Область определения данной функции $D(y)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция существует. В нашем случае это луч $[0; +\infty)$.

4. Проверка на симметрию.
Проверим, является ли область определения $D(y) = [0; +\infty)$ симметричной относительно начала координат.Возьмём любое значение $x > 0$ из этой области, например, $x=4$. Значение $-x = -4$ не принадлежит области определения $[0; +\infty)$.Так как для $x \in D(y)$ не всегда выполняется, что $-x \in D(y)$, то область определения не является симметричной.

5. Вывод.
Поскольку обязательное условие симметрии области определения для чётной или нечётной функции не выполняется, функция $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном натуральном $n$ не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $y = \sqrt[n]{x}$ не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида), так как её область определения $D(y) = [0; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат.