Номер 1, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет (a, b, c — неотрицательные числа):

а) $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

б) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$

в) $\sqrt[n]{a + b} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$

г) $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a + b - c}$

д) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0)$

е) $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{ac}{b}} \quad (b \neq 0)$

ж) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab - c}?$

а) Это соотношение является одним из основных свойств арифметического корня n-ой степени и является верным. Оно гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.

Докажем это. Пусть $x = \sqrt[n]{a}$ и $y = \sqrt[n]{b}$. По определению корня, это означает, что $x^n = a$ и $y^n = b$ (поскольку $a, b$ неотрицательны, то и их арифметические корни $x, y$ также неотрицательны).

Рассмотрим произведение $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и возведем его в степень $n$: $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n = a \cdot b$.

Поскольку $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = ab$ и $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \ge 0$, то по определению арифметического корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ является корнем n-ой степени из $ab$. Таким образом, $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Ответ: верное.

б) Это соотношение также является верным, так как оно представляет собой обобщение свойства из пункта а) на три множителя.

Используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$, преобразуем левую часть равенства: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = (\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}) \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{(ab)c} = \sqrt[n]{abc}$. Левая часть равна правой, следовательно, соотношение верно.

Ответ: верное.

в) Данное соотношение в общем случае неверно. Корень из суммы не равен сумме корней. Чтобы показать это, достаточно привести контрпример.

Пусть $n=2$, $a=9$, $b=16$.

Левая часть: $\sqrt[n]{a+b} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Правая часть: $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Так как $5 \neq 7$, данное равенство не является тождеством.

Ответ: неверное.

г) Это соотношение, аналогично предыдущему, в общем случае неверно. Операции сложения и вычитания нельзя "проносить" через знак корня.

Приведем контрпример. Пусть $n=2$, $a=25$, $b=16$, $c=9$. Убедимся, что подкоренное выражение в правой части неотрицательно: $a+b-c = 25+16-9 = 32 \ge 0$.

Левая часть: $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt{25} + \sqrt{16} - \sqrt{9} = 5 + 4 - 3 = 6$.

Правая часть: $\sqrt[n]{a+b-c} = \sqrt{25+16-9} = \sqrt{32}$.

Поскольку $6 = \sqrt{36}$, а $\sqrt{36} \neq \sqrt{32}$, равенство не выполняется.

Ответ: неверное.

д) Это соотношение является верным. Это свойство корня из частного, которое гласит, что корень n-ой степени из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Доказательство аналогично пункту а). Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и возведем его в степень $n$: $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{a}{b}$.

Поскольку $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{a}{b}$ и $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \ge 0$, по определению арифметического корня n-ой степени, $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Ответ: верное.

е) Данное соотношение является верным. Его можно доказать, последовательно применяя свойства корней из пунктов а) и д).

Преобразуем левую часть. Сначала применим свойство корня из произведения (пункт а)) к числителю: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ac}$.

Теперь выражение принимает вид: $\frac{\sqrt[n]{ac}}{\sqrt[n]{b}}$.

Далее применяем свойство корня из частного (пункт д)): $\frac{\sqrt[n]{ac}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{ac}{b}}$.

Левая часть тождественно равна правой.

Ответ: верное.

ж) Проверим данное соотношение. Оно в общем случае неверно.

Упростим левую часть, используя свойство из пункта а): $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Тогда равенство принимает вид: $\sqrt[n]{ab} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab-c}$. Это равенство похоже на неверные равенства из пунктов в) и г). Оно утверждает, что разность корней равна корню из разности, что неверно.

Приведем контрпример. Пусть $n=2$, $a=9$, $b=4$, $c=20$. Подкоренное выражение в правой части: $ab-c = 9 \cdot 4 - 20 = 36 - 20 = 16 \ge 0$.

Левая часть: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} - \sqrt{20} = 3 \cdot 2 - \sqrt{20} = 6 - \sqrt{20}$.

Правая часть: $\sqrt[n]{ab-c} = \sqrt{16} = 4$.

Сравним $6 - \sqrt{20}$ и $4$. Так как $4 < 20 < 25$, то $2 < \sqrt{20} < 5$. Приближенно $\sqrt{20} \approx 4.47$. $6 - \sqrt{20} \approx 6 - 4.47 = 1.53$. Очевидно, что $1.53 \neq 4$. Равенство не выполняется.

Ответ: неверное.