Номер 3, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

В целых и в рациональных полях.

Формулы Кардано

Формулы Кардано предназначены для нахождения корней кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$.

1. Приведение к неполному виду.
Сначала общее кубическое уравнение приводится к так называемому "неполному" или "приведенному" виду, в котором отсутствует член со второй степенью переменной. Для этого делается подстановка $x = y - \frac{b}{3a}$. После подстановки и упрощения уравнение принимает вид: $y^3 + py + q = 0$ где коэффициенты $p$ и $q$ выражаются через исходные коэффициенты $a, b, c, d$: $p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}$ $q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} = \frac{d}{a} + \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2}$

2. Решение неполного уравнения.
Для решения уравнения $y^3 + py + q = 0$ используется подстановка $y = u + v$. Подставим ее в уравнение: $(u+v)^3 + p(u+v) + q = 0$ $u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + p(u+v) + q = 0$ $u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = 0$ $u^3 + v^3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0$

Теперь наложим на переменные $u$ и $v$ дополнительное условие: $3uv + p = 0$, или $uv = -\frac{p}{3}$. Это позволяет избавиться от слагаемого с $(u+v)$. Уравнение упрощается до: $u^3 + v^3 = -q$

В итоге мы имеем систему из двух уравнений относительно $u^3$ и $v^3$: $\begin{cases} u^3 + v^3 = -q \\ u^3 v^3 = (uv)^3 = (-\frac{p}{3})^3 = -\frac{p^3}{27} \end{cases}$

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения, $u^3$ и $v^3$ являются корнями вспомогательного квадратного уравнения $z^2 - (u^3+v^3)z + u^3v^3 = 0$. Подставив значения из системы, получим: $z^2 + qz - \frac{p^3}{27} = 0$

Решая это квадратное уравнение относительно $z$, находим: $z = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4(-\frac{p^3}{27})}}{2} = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$

Таким образом, мы нашли значения для $u^3$ и $v^3$: $u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}$
$v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}$

Извлекая кубические корни, получаем $u$ и $v$, а затем и корень $y = u+v$. $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}$

Это и есть формула Кардано. Она дает один из корней уравнения. Чтобы найти все три корня ($y_1, y_2, y_3$), нужно учесть, что у каждого комплексного числа есть три кубических корня. Если $u_0$ и $v_0$ — какие-либо значения корней, удовлетворяющие условию $u_0 v_0 = -p/3$, то все три корня уравнения для $y$ даются формулами: $y_1 = u_0 + v_0$ $y_2 = u_0\omega + v_0\omega^2$ $y_3 = u_0\omega^2 + v_0\omega$ где $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ — комплексные кубические корни из единицы.

Наконец, зная корни $y_1, y_2, y_3$, можно найти корни исходного уравнения по формуле $x_k = y_k - \frac{b}{3a}$.

Ответ: Для кубического уравнения, приведенного к виду $y^3 + py + q = 0$, его корни находятся по формуле: $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}}$, где $D = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3$ — дискриминант.

Теорема Виета

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Она названа в честь французского математика Франсуа Виета.

Рассмотрим многочлен степени $n$: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ Пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни этого многочлена (действительные или комплексные). Тогда многочлен можно представить в виде: $P(x) = a_n (x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)$

Если раскрыть скобки в этом выражении и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ к коэффициентам исходного многочлена, получатся формулы Виета.

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Для кубического уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

В общем случае для многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ с корнями $x_1, x_2, \dots, x_n$ формулы Виета выглядят следующим образом:

• $\sum_{1 \le i \le n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
• ...
• $x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

Общая формула для суммы произведений корней по $k$ штук: $\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

Ответ: Для многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ с корнями $x_1, \dots, x_n$ связь между корнями и коэффициентами выражается через элементарные симметрические многочлены от корней: сумма произведений корней, взятых по $k$, равна $(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$.