Номер 5, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Что такое симметрический многочлен $p(x; y)$? Приведите два примера симметрических многочленов.

Что такое симметрический многочлен p(x; y)?

Симметрический многочлен от двух переменных $p(x; y)$ — это такой многочлен, который не изменяет своего вида и значения при любой перестановке (замене местами) его переменных. Для многочлена от двух переменных $x$ и $y$ это означает, что должно выполняться тождество: $p(x, y) = p(y, x)$. Это свойство выполняется, если для каждого члена многочлена вида $a \cdot x^k y^m$ (где $k \neq m$) в нем также обязательно присутствует член $a \cdot x^m y^k$ с точно таким же коэффициентом $a$. Если $k=m$, то член $a \cdot x^k y^k$ уже симметричен сам по себе.

Ответ: Симметрический многочлен $p(x; y)$ — это многочлен, который не изменяется при перестановке переменных $x$ и $y$, то есть для него выполняется тождество $p(x, y) = p(y, x)$.

Приведите два примера симметрических многочленов.

1. Пример 1: $p(x, y) = x^2 + y^2$.
Этот многочлен является симметрическим. Чтобы это проверить, поменяем переменные $x$ и $y$ местами: $p(y, x) = y^2 + x^2$. В силу коммутативного закона сложения ($a+b=b+a$), мы знаем, что $y^2 + x^2 = x^2 + y^2$. Следовательно, $p(x, y) = p(y, x)$, что и доказывает симметричность многочлена.

2. Пример 2: $p(x, y) = x^3 + y^3 - 7xy$.
Проверим симметричность этого многочлена, поменяв переменные местами: $p(y, x) = y^3 + x^3 - 7yx$. Используя коммутативность сложения ($y^3 + x^3 = x^3 + y^3$) и умножения ($yx = xy$), мы можем переписать выражение: $p(y, x) = x^3 + y^3 - 7xy$. Таким образом, мы снова получили, что $p(x, y) = p(y, x)$, значит, этот многочлен также является симметрическим.

Ответ: $p_1(x, y) = x^2 + y^2$; $p_2(x, y) = x^3 + y^3 - 7xy$.