Номер 2, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Решение уравнений $n$-й степени с целыми коэффициентами в целых и в рациональных числах.

Рассматривается алгебраическое уравнение $n$-й степени с целыми коэффициентами:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$

где все коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — целые числа, и старший коэффициент $a_n \neq 0$. Для нахождения целых и рациональных корней такого уравнения существуют специальные теоремы, которые позволяют сузить область поиска до конечного числа "кандидатов" в корни.

Решение в целых числах

Поиск целых корней основывается на следствии из общей теоремы о рациональных корнях. Формулируется оно следующим образом:

Теорема (следствие о целых корнях). Если целое число $k$ является корнем многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами, то $k$ является делителем свободного члена $a_0$.

Доказательство:

Пусть $k$ — целый корень уравнения, то есть $P(k) = 0$. Подставим $k$ в уравнение:

$a_n k^n + a_{n-1} k^{n-1} + \dots + a_1 k + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$:

$a_0 = -a_n k^n - a_{n-1} k^{n-1} - \dots - a_1 k$

Вынесем $k$ за скобки в правой части:

$a_0 = -k(a_n k^{n-1} + a_{n-1} k^{n-2} + \dots + a_1)$

Поскольку все коэффициенты $a_i$ и число $k$ являются целыми, выражение в скобках также является целым числом. Следовательно, $a_0$ делится на $k$ нацело, что и требовалось доказать.

Алгоритм поиска целых корней:

1. Найти все целые делители свободного члена $a_0$. Это будут все возможные кандидаты в целые корни.
2. Последовательно подставить каждого кандидата в уравнение. Если при подстановке числа $k$ уравнение обращается в верное равенство $P(k) = 0$, то $k$ является корнем.
3. Если корень $k$ найден, можно упростить дальнейшие поиски, разделив многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - k)$. Это можно сделать, например, по схеме Горнера или делением "в столбик". В результате получится многочлен на единицу меньшей степени, корни которого также являются корнями исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ в целых числах.

Свободный член $a_0 = -6$.

Делители числа -6: $k \in \{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Проверяем кандидатов:

• $P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Следовательно, $x_1 = 1$ — корень.

Разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $(x - 1)$ с помощью схемы Горнера:

Новый многочлен имеет коэффициенты $1, -5, 6$. Это $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение, его корни легко найти: по теореме Виета $x_2 + x_3 = 5$ и $x_2 \cdot x_3 = 6$. Корни $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Оба корня также являются делителями исходного свободного члена -6. Мы нашли все три корня.

Ответ: Целыми корнями уравнения являются числа 1, 2 и 3.

Решение в рациональных числах

Для поиска рациональных корней используется теорема о рациональных корнях (также известная как теорема Гаусса о корнях многочленов).

Теорема о рациональных корнях. Если несократимая дробь $x = \frac{p}{q}$ (где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$) является корнем многочлена $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ с целыми коэффициентами, то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Доказательство:

Пусть $x = \frac{p}{q}$ — корень уравнения. Тогда $P(\frac{p}{q}) = 0$.

$a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_1 \frac{p}{q} + a_0 = 0$

Умножим обе части уравнения на $q^n$:

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \dots + a_1 pq^{n-1} + a_0 q^n = 0$

1. Перенесем член $a_0 q^n$ в правую часть и вынесем $p$ за скобки:

$p(a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2}q + \dots + a_1 q^{n-1}) = -a_0 q^n$

Левая часть делится на $p$. Значит, и правая часть $-a_0 q^n$ делится на $p$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, то и $p$ и $q^n$ взаимно просты. Следовательно, на $p$ должен делиться коэффициент $a_0$.

2. Перенесем член $a_n p^n$ в правую часть и вынесем $q$ за скобки:

$q(a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 pq^{n-2} + a_0 q^{n-1}) = -a_n p^n$

Левая часть делится на $q$. Значит, и правая часть $-a_n p^n$ делится на $q$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, то и $p^n$ и $q$ взаимно просты. Следовательно, на $q$ должен делиться коэффициент $a_n$.

Алгоритм поиска рациональных корней:

1. Найти все целые делители свободного члена $a_0$. Обозначим их как $p$.
2. Найти все натуральные делители старшего коэффициента $a_n$. Обозначим их как $q$.
3. Составить все возможные несократимые дроби вида $\pm \frac{p}{q}$. Это множество "кандидатов" в рациональные корни.
4. Подставить каждого кандидата в уравнение и проверить, обращается ли оно в ноль.
5. Найденные корни использовать для понижения степени многочлена, как и в случае с целыми корнями.

Пример: Решить уравнение $3x^3 - 4x^2 - 17x + 6 = 0$ в рациональных числах.

Свободный член $a_0 = 6$, старший коэффициент $a_n = 3$.

Делители $a_0=6$ (кандидаты в числитель $p$): $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Натуральные делители $a_n=3$ (кандидаты в знаменатель $q$): $\{1, 3\}$.

Возможные рациональные корни $\frac{p}{q}$: $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}\}$.

Проверяем кандидатов:

• $P(-2) = 3(-8) - 4(4) - 17(-2) + 6 = -24 - 16 + 34 + 6 = 0$. Следовательно, $x_1 = -2$ — корень.

Разделим многочлен $3x^3 - 4x^2 - 17x + 6$ на $(x + 2)$:

$(3x^3 - 4x^2 - 17x + 6) : (x + 2) = 3x^2 - 10x + 3$.

Решаем квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$x_{2,3} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$x_2 = \frac{18}{6} = 3$.

$x_3 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Все три найденных корня ($-2, 3, \frac{1}{3}$) принадлежали списку кандидатов.

Ответ: Рациональными корнями уравнения являются числа -2, 3 и $\frac{1}{3}$.