Номер 4, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Если $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x) = \sqrt[n]{x}$ необходимо проверить выполнение двух условий: симметричность области определения и соотношение между $f(x)$ и $f(-x)$.

1. Область определения функции

Функция $y = \sqrt[n]{x}$ задана с условием, что $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1 (то есть $n=3, 5, 7, \dots$). Корень нечётной степени определён для любого действительного числа $x$. Это означает, что область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Эта область определения является симметричной относительно начала координат, так как для любого числа $x$, принадлежащего области определения, число $-x$ также принадлежит этой области.

2. Проверка на чётность/нечётность

Согласно определению, функция является:

• чётной, если выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
• нечётной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Найдём значение нашей функции $f(x) = \sqrt[n]{x}$ для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x}$

Так как $n$ — нечётное число, то для любого $a$ справедливо свойство корня $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. Это следует из того, что $(-b)^n = -b^n$ при нечётном $n$. Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, а $-\sqrt[3]{8} = -2$.

Применяя это свойство, получаем:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$

Поскольку $f(x) = \sqrt[n]{x}$, мы видим, что выполняется равенство:

$f(-x) = -f(x)$

Так как область определения функции симметрична относительно нуля и выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, то данная функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$, где $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, является нечётной.