Номер 5, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет:

a) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a};$

б) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a};$

в) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7}?$

а) Проверим соотношение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a}$.

Для того чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к одному показателю или представить в виде степеней с рациональными показателями. Воспользуемся вторым способом, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.

Представим левую часть равенства в виде степеней: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{1/3} \cdot a^{1/4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^{1/3} \cdot a^{1/4} = a^{1/3 + 1/4}$.

Найдем сумму показателей, приведя дроби к общему знаменателю 12: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.

Таким образом, левая часть равна $a^{7/12}$, что в виде корня записывается как $\sqrt[12]{a^7}$.

Правая часть равенства — это $\sqrt[7]{a}$.

Сравниваем полученный результат с правой частью исходного равенства: $\sqrt[12]{a^7} \neq \sqrt[7]{a}$. Следовательно, данное соотношение неверно. Ошибка в предложенном равенстве заключается в неверном действии с показателями корней — их сложении ($3+4=7$).

Ответ: неверно.

б) Проверим соотношение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a}$.

Как мы уже вычислили в пункте а), произведение в левой части равно $\sqrt[12]{a^7}$.

Правая часть равенства — это $\sqrt[12]{a}$.

Сравниваем левую и правую части: $\sqrt[12]{a^7} \neq \sqrt[12]{a}$ (равенство выполняется только при $a=0$ или $a=1$, но не для всех $a$). Следовательно, данное соотношение неверно. Ошибка заключается в том, что при приведении корней к общему показателю $12$ ($3 \cdot 4 = 12$) не были возведены в соответствующую степень подкоренные выражения. Правильное преобразование выглядит так: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^4} \cdot \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{a^{4+3}} = \sqrt[12]{a^7}$.

Ответ: неверно.

в) Проверим соотношение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7}$.

Используем вычисления, проведенные в пункте а). Левая часть: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{1/3} \cdot a^{1/4} = a^{1/3 + 1/4} = a^{7/12}$.

Представим результат $a^{7/12}$ в виде корня: $\sqrt[12]{a^7}$.

Правая часть равенства — $\sqrt[12]{a^7}$.

Левая и правая части равенства совпадают: $\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[12]{a^7}$. Следовательно, данное соотношение является верным.

Ответ: верно.