Номер 4, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Какова область допустимых значений переменной в выражении $(a+1)^{-\frac{1}{5}}$?

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной — это множество всех значений переменной, при которых данное математическое выражение имеет смысл.

Рассмотрим выражение $(a + 1)^{-\frac{1}{5}}$.

Это степенное выражение с рациональным показателем. По определению, выражение $x^r$, где $r$ — рациональное нецелое число, определено для $x > 0$. В нашем случае основание степени — это $(a+1)$, а показатель степени — $r = -\frac{1}{5}$.

Поскольку показатель степени является нецелым числом, основание степени должно быть строго положительным:

$a + 1 > 0$

Давайте разберемся, почему именно строгое неравенство. Выражение можно переписать, используя свойства степеней:

$(a + 1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{(a + 1)^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{a+1}}$

Из этой формы мы видим два условия:

1. Подкоренное выражение для корня нечетной степени ($\sqrt[5]{...}$) может быть любым действительным числом.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Совместим эти условия. Знаменатель $\sqrt[5]{a+1}$ равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:

$a + 1 = 0 \implies a = -1$

Таким образом, мы должны исключить значение $a = -1$.

Однако, стандартное определение степени с рациональным показателем в школьном курсе и в анализе требует, чтобы основание было положительным ($a+1 > 0$), чтобы избежать таких неоднозначностей, как $(-8)^{\frac{2}{6}}$, и для корректного определения свойств степени. При $a+1 \le 0$ выражение считается неопределенным.

Поэтому мы должны потребовать, чтобы основание степени было строго положительным:

$a + 1 > 0$

Решим это неравенство:

$a > -1$

Это условие автоматически исключает случай равенства нулю, при котором знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область допустимых значений для переменной $a$ — это все числа, которые больше -1.

Ответ: $a > -1$, или в виде интервала $a \in (-1; +\infty)$.