Номер 3, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Как найти производную функции $y = x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$?

Чтобы найти производную функции $y = x^r$, где $r$ является рациональным числом ($r \in \mathbb{Q}$), можно воспользоваться методом неявного дифференцирования, обобщая уже известное правило для целых степеней. Процесс вывода формулы можно разбить на несколько шагов.

1. Представление рационального показателя

По определению, любое рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде:

$y = x^{\frac{m}{n}}$

2. Преобразование уравнения

Чтобы избавиться от дробного показателя и свести задачу к дифференцированию функций с целыми степенями, возведем обе части равенства $y = x^{\frac{m}{n}}$ в степень $n$:

$y^n = (x^{\frac{m}{n}})^n$

Используя свойство степеней $((a^b)^c = a^{bc})$, получаем:

$y^n = x^m$

3. Неявное дифференцирование

Теперь продифференцируем обе части полученного равенства $y^n = x^m$ по переменной $x$. При этом мы рассматриваем $y$ как функцию от $x$ ($y(x)$), поэтому для дифференцирования левой части $y^n$ необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

$\frac{d}{dx}(y^n) = \frac{d}{dx}(x^m)$

Производная левой части по $x$: $(y^n)' = n \cdot y^{n-1} \cdot y'$

Производная правой части по $x$ (используя правило для целой степени $m$): $(x^m)' = m \cdot x^{m-1}$

Приравнивая результаты, получаем следующее уравнение относительно производной $y'$:

$n \cdot y^{n-1} \cdot y' = m \cdot x^{m-1}$

4. Нахождение производной $y'$

Из полученного уравнения выразим $y'$, которая и является искомой производной $\frac{dy}{dx}$:

$y' = \frac{m \cdot x^{m-1}}{n \cdot y^{n-1}}$

Перегруппируем множители:

$y' = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{y^{n-1}}$

5. Подстановка и упрощение выражения

Чтобы выразить производную только через переменную $x$, подставим в полученное выражение исходное определение функции $y = x^{\frac{m}{n}}$:

$y' = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{(x^{\frac{m}{n}})^{n-1}}$

Теперь упростим знаменатель, используя свойства степеней:

$(x^{\frac{m}{n}})^{n-1} = x^{\frac{m(n-1)}{n}} = x^{\frac{mn-m}{n}} = x^{m - \frac{m}{n}}$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение для $y'$:

$y' = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{x^{m - \frac{m}{n}}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$):

$y' = \frac{m}{n} \cdot x^{(m-1) - (m - \frac{m}{n})} = \frac{m}{n} \cdot x^{m-1 - m + \frac{m}{n}} = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n} - 1}$

6. Окончательный результат

На последнем шаге вернемся к исходному обозначению $r = \frac{m}{n}$:

$y' = r \cdot x^{r-1}$

Таким образом, мы показали, что стандартная формула производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$ справедлива не только для целых, но и для любых рациональных показателей степени $r$.

Ответ: Производная функции $y=x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$, находится по формуле $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$.