Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Какие из перечисленных ниже степенных функций выпуклы вверх, а какие — выпуклы вниз: $y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$, $y = x^{2,7}$, $y = x^{0,11}$?

Для определения выпуклости степенной функции вида $y = x^p$ необходимо найти ее вторую производную, $y''$, и исследовать ее знак. Функция является выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале, где ее вторая производная положительна ($y'' > 0$), и выпуклой вверх (вогнутой) на интервале, где ее вторая производная отрицательна ($y'' < 0$).

Будем рассматривать данные функции на их общей области определения $x > 0$.

Найдем общую формулу для второй производной степенной функции $y = x^p$:

Первая производная: $y' = p \cdot x^{p-1}$

Вторая производная: $y'' = p(p-1) \cdot x^{p-2}$

Поскольку мы рассматриваем интервал $x > 0$, множитель $x^{p-2}$ всегда будет положительным. Это означает, что знак второй производной $y''$ полностью определяется знаком выражения $p(p-1)$.

• Если $p(p-1) > 0$, что эквивалентно $p < 0$ или $p > 1$, то $y'' > 0$, и функция является выпуклой вниз.
• Если $p(p-1) < 0$, что эквивалентно $0 < p < 1$, то $y'' < 0$, и функция является выпуклой вверх.

Проанализируем каждую из представленных функций, основываясь на этом правиле.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Показатель степени $p = \frac{2}{3}$. Так как выполняется условие $0 < \frac{2}{3} < 1$, то выражение $p(p-1) = \frac{2}{3}(\frac{2}{3} - 1) = -\frac{2}{9}$ будет отрицательным. Следовательно, $y'' < 0$, и функция выпукла вверх.

Ответ: выпукла вверх.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Показатель степени $p = \frac{3}{2} = 1.5$. Так как $p > 1$, то выражение $p(p-1) = \frac{3}{2}(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{4}$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{-0.6}$

Показатель степени $p = -0.6$. Так как $p < 0$, то выражение $p(p-1) = -0.6(-0.6 - 1) = 0.96$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{11}$

Показатель степени $p = 11$. Так как $p > 1$, то выражение $p(p-1) = 11(11 - 1) = 110$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $p = -11$. Так как $p < 0$, то выражение $p(p-1) = -11(-11 - 1) = 132$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Показатель степени $p = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Так как $p < 0$, то выражение $p(p-1) = (-\frac{16}{7})(-\frac{16}{7} - 1) = \frac{368}{49}$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{2.7}$

Показатель степени $p = 2.7$. Так как $p > 1$, то выражение $p(p-1) = 2.7(2.7 - 1) = 4.59$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{0.11}$

Показатель степени $p = 0.11$. Так как $0 < 0.11 < 1$, то выражение $p(p-1) = 0.11(0.11 - 1) = -0.0979$ будет отрицательным. Следовательно, $y'' < 0$, и функция выпукла вверх.

Ответ: выпукла вверх.

Таким образом, функции можно разделить на две группы:

Выпуклы вверх:

• $y = x^{\frac{2}{3}}$
• $y = x^{0.11}$

Выпуклы вниз:

• $y = x^{\frac{3}{2}}$
• $y = x^{-0.6}$
• $y = x^{11}$
• $y = x^{-11}$
• $y = x^{-2\frac{2}{7}}$
• $y = x^{2.7}$

3. Как найти производную функции $y = x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$?

Чтобы найти производную функции $y = x^r$, где $r$ является рациональным числом ($r \in \mathbb{Q}$), можно воспользоваться методом неявного дифференцирования, обобщая уже известное правило для целых степеней. Процесс вывода формулы можно разбить на несколько шагов.

1. Представление рационального показателя

По определению, любое рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде:

$y = x^{\frac{m}{n}}$

2. Преобразование уравнения

Чтобы избавиться от дробного показателя и свести задачу к дифференцированию функций с целыми степенями, возведем обе части равенства $y = x^{\frac{m}{n}}$ в степень $n$:

$y^n = (x^{\frac{m}{n}})^n$

Используя свойство степеней $((a^b)^c = a^{bc})$, получаем:

$y^n = x^m$

3. Неявное дифференцирование

Теперь продифференцируем обе части полученного равенства $y^n = x^m$ по переменной $x$. При этом мы рассматриваем $y$ как функцию от $x$ ($y(x)$), поэтому для дифференцирования левой части $y^n$ необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

$\frac{d}{dx}(y^n) = \frac{d}{dx}(x^m)$

Производная левой части по $x$: $(y^n)' = n \cdot y^{n-1} \cdot y'$

Производная правой части по $x$ (используя правило для целой степени $m$): $(x^m)' = m \cdot x^{m-1}$

Приравнивая результаты, получаем следующее уравнение относительно производной $y'$:

$n \cdot y^{n-1} \cdot y' = m \cdot x^{m-1}$

4. Нахождение производной $y'$

Из полученного уравнения выразим $y'$, которая и является искомой производной $\frac{dy}{dx}$:

$y' = \frac{m \cdot x^{m-1}}{n \cdot y^{n-1}}$

Перегруппируем множители:

$y' = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{y^{n-1}}$

5. Подстановка и упрощение выражения

Чтобы выразить производную только через переменную $x$, подставим в полученное выражение исходное определение функции $y = x^{\frac{m}{n}}$:

$y' = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{(x^{\frac{m}{n}})^{n-1}}$

Теперь упростим знаменатель, используя свойства степеней:

$(x^{\frac{m}{n}})^{n-1} = x^{\frac{m(n-1)}{n}} = x^{\frac{mn-m}{n}} = x^{m - \frac{m}{n}}$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение для $y'$:

$y' = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{x^{m - \frac{m}{n}}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$):

$y' = \frac{m}{n} \cdot x^{(m-1) - (m - \frac{m}{n})} = \frac{m}{n} \cdot x^{m-1 - m + \frac{m}{n}} = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n} - 1}$

6. Окончательный результат

На последнем шаге вернемся к исходному обозначению $r = \frac{m}{n}$:

$y' = r \cdot x^{r-1}$

Таким образом, мы показали, что стандартная формула производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$ справедлива не только для целых, но и для любых рациональных показателей степени $r$.

Ответ: Производная функции $y=x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$, находится по формуле $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$.

11.65. a) $2^x = -2x + 8;$

б) $(\frac{1}{3})^x = x + 11;$

В) $3^x = -x + 1;$

Г) $(0,2)^x = x + 6.$

а) Рассмотрим уравнение $2^x = -2x + 8$. Данное уравнение является трансцендентным, и для его решения проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях.
Пусть $f(x) = 2^x$ и $g(x) = -2x + 8$.
Функция $f(x) = 2^x$ является показательной с основанием $a=2$, где $a > 1$. Следовательно, эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
Функция $g(x) = -2x + 8$ является линейной с угловым коэффициентом $k=-2$, где $k < 0$. Следовательно, эта функция является строго убывающей.
Поскольку строго возрастающая функция и строго убывающая функция могут пересекаться не более одного раза, данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые числа.
При $x=2$:
Левая часть: $2^2 = 4$.
Правая часть: $-2(2) + 8 = -4 + 8 = 4$.
Поскольку $4=4$, значение $x=2$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.
Ответ: $x=2$.

б) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 11$.
Пусть $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = x + 11$.
Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ является показательной с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. Следовательно, эта функция является строго убывающей.
Функция $g(x) = x + 11$ является линейной с угловым коэффициентом $k=1$, где $k > 0$. Следовательно, эта функция является строго возрастающей.
Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=-2$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.
Правая часть: $-2 + 11 = 9$.
Поскольку $9=9$, $x=-2$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть окончательное решение.
Ответ: $x=-2$.

в) Рассмотрим уравнение $3^x = -x + 1$.
Пусть $f(x) = 3^x$ и $g(x) = -x + 1$.
Функция $f(x) = 3^x$ — показательная с основанием $a=3 > 1$, следовательно, она строго возрастающая.
Функция $g(x) = -x + 1$ — линейная с угловым коэффициентом $k=-1 < 0$, следовательно, она строго убывающая.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Таким образом, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=0$:
Левая часть: $3^0 = 1$.
Правая часть: $-0 + 1 = 1$.
Равенство $1=1$ выполняется, значит $x=0$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $x=0$.

г) Рассмотрим уравнение $(0,2)^x = x + 6$.
Пусть $f(x) = (0,2)^x$ и $g(x) = x + 6$.
Функция $f(x) = (0,2)^x$ является показательной с основанием $a=0,2$, где $0 < a < 1$. Следовательно, она строго убывающая.
Функция $g(x) = x + 6$ является линейной с угловым коэффициентом $k=1 > 0$. Следовательно, она строго возрастающая.
Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень подбором.
При $x=-1$:
Левая часть: $(0,2)^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.
Правая часть: $-1 + 6 = 5$.
Равенство $5=5$ верно, следовательно, $x=-1$ является единственным решением уравнения.
Ответ: $x=-1$.

11.66. a) $2^x = \frac{2}{x};$

б) $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x};$

В) $5^x = \frac{5}{x};$

Г) $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}.$

а) $2^x = \frac{2}{x}$

Для решения данного уравнения рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям: $f(x) = 2^x$ и $g(x) = \frac{2}{x}$. Решение уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков этих функций.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем дроби в правой части, поэтому $x \neq 0$.

Показательная функция $f(x) = 2^x$ принимает только положительные значения. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть положительной: $\frac{2}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен быть положительным.

Рассмотрим поведение функций на промежутке $(0; +\infty)$:

Функция $f(x) = 2^x$ является строго возрастающей на всей области определения.

Функция $g(x) = \frac{2}{x}$ (гипербола) является строго убывающей на промежутке $(0; +\infty)$.

Поскольку на промежутке $(0; +\infty)$ одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более одного раза. Это означает, что уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $\frac{2}{1} = 2$.

Так как левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является корнем уравнения. Учитывая, что корень единственный, это и есть решение.

Ответ: 1.

б) $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x}$

Рассмотрим две функции: $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = -\frac{4}{x}$.

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ всегда положительна. Значит, правая часть уравнения также должна быть положительной: $-\frac{4}{x} > 0$. Умножив неравенство на $-1$ и изменив знак, получим $\frac{4}{x} < 0$, что верно при $x < 0$. Следовательно, корень уравнения, если он существует, должен быть отрицательным.

Рассмотрим поведение функций на промежутке $(-\infty; 0)$:

Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x = 4^{-x}$ является строго убывающей.

Функция $g(x) = -\frac{4}{x}$ является строго возрастающей (ее производная $g'(x) = \frac{4}{x^2}$ положительна для всех $x \neq 0$).

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень подбором. Проверим $x=-1$:

Левая часть: $(\frac{1}{4})^{-1} = 4^1 = 4$.

Правая часть: $-\frac{4}{-1} = 4$.

Левая и правая части равны ($4=4$), следовательно, $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: -1.

в) $5^x = \frac{5}{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = \frac{5}{x}$.

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$.

Функция $f(x) = 5^x$ всегда положительна, поэтому $\frac{5}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$. Корень ищем на промежутке $(0; +\infty)$.

На этом промежутке функция $f(x) = 5^x$ строго возрастает, а функция $g(x) = \frac{5}{x}$ строго убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень. Проверим $x=1$:

Левая часть: $5^1 = 5$.

Правая часть: $\frac{5}{1} = 5$.

Поскольку $5=5$, $x=1$ является единственным решением.

Ответ: 1.

г) $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{8})^x$ и $g(x) = -\frac{8}{x}$.

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{8})^x$ всегда положительна, поэтому $-\frac{8}{x} > 0$, что эквивалентно $\frac{8}{x} < 0$. Это неравенство верно при $x < 0$. Корень ищем на промежутке $(-\infty; 0)$.

На этом промежутке функция $f(x) = (\frac{1}{8})^x$ строго убывает, а функция $g(x) = -\frac{8}{x}$ строго возрастает. Следовательно, у уравнения может быть не более одного корня.

Подбором находим корень. Проверим $x=-1$:

Левая часть: $(\frac{1}{8})^{-1} = 8^1 = 8$.

Правая часть: $-\frac{8}{-1} = 8$.

Так как $8=8$, $x=-1$ является единственным решением.

Ответ: -1.

11.67. a) $3^x + 1 = \frac{4}{x}$;

б) $3^x + 3 = \frac{24}{x}$.

а) $3^x + 1 = \frac{4}{x}$

Данное уравнение является трансцендентным, и его удобнее всего решать графическим или аналитическим методом. Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 3^x + 1$ и $y_2 = \frac{4}{x}$.

Проанализируем поведение этих функций:

• Функция $y_1 = 3^x + 1$ является показательной. Так как основание степени $3 > 1$, функция монотонно возрастает на всей своей области определения (все действительные числа).
• Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ является гиперболой. Эта функция монотонно убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x > 0$. На этом промежутке функция $y_1 = 3^x + 1$ монотонно возрастает, а функция $y_2 = \frac{4}{x}$ монотонно убывает. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором. Попробуем $x = 1$:
Левая часть: $y_1(1) = 3^1 + 1 = 4$.
Правая часть: $y_2(1) = \frac{4}{1} = 4$.
Так как $4 = 4$, то $x = 1$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций, это единственный корень на промежутке $x > 0$.

2. Пусть $x < 0$. На этом промежутке показательная функция $3^x$ принимает значения в интервале $(0; 1)$, следовательно, значения функции $y_1 = 3^x + 1$ лежат в интервале $(1; 2)$. То есть, $y_1 > 0$. В то же время, для $x < 0$ функция $y_2 = \frac{4}{x}$ принимает только отрицательные значения, то есть, $y_2 < 0$. Поскольку положительное число не может равняться отрицательному, на промежутке $x < 0$ корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 1$.

б) $3^x + 3 = \frac{24}{x}$

Аналогично предыдущему пункту, решим данное уравнение аналитическим методом. ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x + 3$ и $y_2 = \frac{24}{x}$.

• Функция $y_1 = 3^x + 3$ монотонно возрастает на всей области определения.
• Функция $y_2 = \frac{24}{x}$ монотонно убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x > 0$. На этом промежутке возрастающая функция $y_1$ и убывающая функция $y_2$ могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем возможное решение подбором. Попробуем $x = 2$:
Левая часть: $y_1(2) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.
Правая часть: $y_2(2) = \frac{24}{2} = 12$.
Так как $12 = 12$, $x = 2$ является единственным корнем на данном промежутке.

2. Пусть $x < 0$. На этом промежутке $y_1 = 3^x + 3 > 3$, так как $3^x > 0$. То есть $y_1$ принимает только положительные значения. Функция $y_2 = \frac{24}{x}$ для $x < 0$ принимает только отрицательные значения, $y_2 < 0$. Следовательно, на этом промежутке равенство невозможно, и корней нет.

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 2$.

11.68. a) $5^{x-1} = \frac{1}{x}$;

б) $3^{x+2} = \frac{27}{x}$;

В) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} = -\frac{4}{x+2}$;

Г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} = \frac{1}{2x}$.

а)

Дано уравнение $5^{x-1} = \frac{1}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 5^{x-1}$ и $y_2(x) = \frac{1}{x}$.

Функция $y_1(x) = 5^{x-1}$ является показательной. Она определена для всех $x$, всегда принимает положительные значения ($y_1 > 0$) и является строго возрастающей функцией, так как основание степени $5 > 1$.

Функция $y_2(x) = \frac{1}{x}$ является гиперболой. Для $x < 0$ значения $y_2(x)$ отрицательны. Поскольку $y_1(x)$ всегда положительна, решений уравнения в области $x < 0$ быть не может.

Рассмотрим область $x > 0$. В этой области функция $y_1(x)$ строго возрастает, а функция $y_2(x)$ строго убывает. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $5^{1-1} = 5^0 = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{1} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, значение $x=1$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, это и есть итоговое решение.

Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение $3^{x+2} = \frac{27}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 3^{x+2}$ и $y_2(x) = \frac{27}{x}$.

Функция $y_1(x) = 3^{x+2}$ — показательная, всегда положительна ($y_1 > 0$) и строго возрастает на всей области определения.

Функция $y_2(x) = \frac{27}{x}$ — гипербола. Если $x < 0$, то $y_2(x) < 0$, в то время как $y_1(x) > 0$, поэтому в этой области решений нет.

Ищем решения при $x > 0$. На этом интервале $y_1(x)$ строго возрастает, а $y_2(x)$ строго убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения.

Найдем решение подбором. Проверим $x=1$:

Левая часть: $3^{1+2} = 3^3 = 27$.

Правая часть: $\frac{27}{1} = 27$.

Равенство $27=27$ выполняется, следовательно $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $x=1$.

в)

Дано уравнение $(\frac{1}{2})^{x+3} = -\frac{4}{x+2}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Левая часть уравнения, $y_1(x) = (\frac{1}{2})^{x+3}$, является показательной функцией и всегда положительна ($y_1 > 0$).

Для того чтобы равенство было возможным, правая часть, $y_2(x) = -\frac{4}{x+2}$, также должна быть положительной. Решим неравенство:

$-\frac{4}{x+2} > 0 \implies \frac{4}{x+2} < 0 \implies x+2 < 0 \implies x < -2$.

Таким образом, решения могут существовать только на интервале $(-\infty, -2)$.

На этом интервале функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^{x+3}$ является строго убывающей, так как основание $1/2 < 1$.

Исследуем на монотонность функцию $y_2(x)$ на интервале $(-\infty, -2)$. Ее производная $y_2'(x) = (-4(x+2)^{-1})' = -4(-1)(x+2)^{-2} = \frac{4}{(x+2)^2}$. Поскольку производная $y_2'(x) > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, функция $y_2(x)$ является строго возрастающей на интервале $(-\infty, -2)$.

Так как на интервале $(-\infty, -2)$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза.

Найдем решение подбором. Проверим целое значение из области $x < -2$, например $x=-4$:

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-4+3} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$.

Правая часть: $-\frac{4}{-4+2} = -\frac{4}{-2} = 2$.

Равенство $2=2$ выполняется, значит $x=-4$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=-4$.

г)

Дано уравнение $(\frac{1}{4})^{x-1} = \frac{1}{2x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Левая часть $(\frac{1}{4})^{x-1}$ всегда положительна. Следовательно, правая часть $\frac{1}{2x}$ также должна быть положительной, что выполняется при $x > 0$.

Преобразуем уравнение для $x > 0$:

$4^{-(x-1)} = \frac{1}{2x}$

$4^{1-x} = \frac{1}{2x}$

Умножим обе части на $2x$ (это корректно, так как $x>0$):

$2x \cdot 4^{1-x} = 1$

$2x \cdot 4 \cdot 4^{-x} = 1$

$8x = 4^x$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков линейной функции $y=8x$ и показательной функции $y=4^x$.

Найдем одно из решений подбором. Проверим $x=2$:

Левая часть: $8 \cdot 2 = 16$.

Правая часть: $4^2 = 16$.

Равенство $16=16$ верно, значит $x=2$ является корнем уравнения.

В отличие от предыдущих примеров, здесь обе функции ($y_1(x) = 4^{1-x}$ и $y_2(x) = \frac{1}{2x}$) являются убывающими на интервале $x>0$, поэтому они могут иметь более одной точки пересечения. Анализ функции $h(x) = 4^x - 8x$ показывает, что существует еще один корень на интервале $(0, 1/2)$. Однако этот корень не является "хорошим" числом (целым или простой дробью) и не может быть найден стандартными школьными методами. В таких задачах обычно предполагается найти только "простые" решения.

Ответ: $x=2$.

11.69. a) $2^x - 1 = \sqrt{x}$;

Б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = \sqrt{x} + 1$;

В) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$;

Г) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$.

а) $2^x - 1 = \sqrt{x}$
Данное уравнение является трансцендентным, и его удобнее решать графически или с помощью анализа свойств функций.
Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x - 1$ и $y_2 = \sqrt{x}$. Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков этих функций.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Функция $y_1 = 2^x - 1$ является показательной, строго возрастающей на всей числовой прямой, а значит и на ОДЗ.
Функция $y_2 = \sqrt{x}$ также является строго возрастающей на своей области определения.
Подберем возможные корни.
Проверим $x=0$: $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. $\sqrt{0} = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=0$ — корень уравнения.
Проверим $x=1$: $2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$. $\sqrt{1} = 1$. Равенство $1 = 1$ верно. Значит, $x=1$ — также корень уравнения.
Чтобы доказать, что других корней нет, рассмотрим функцию $h(x) = 2^x - 1 - \sqrt{x}$. Найдем ее вторую производную:
$h'(x) = 2^x \ln(2) - \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$h''(x) = 2^x (\ln(2))^2 + \frac{1}{4x\sqrt{x}}$
На ОДЗ ($x > 0$) $h''(x) > 0$, следовательно, функция $h(x)$ является выпуклой вниз. Выпуклая функция может иметь не более двух корней. Поскольку мы уже нашли два корня ($x=0$ и $x=1$), других корней у уравнения нет.
Ответ: $0; 1$.

б) $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$
Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = \sqrt{x} + 1$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она строго убывает на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей на своей области определения $x \ge 0$.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором. Проверим $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.
Равенство $1 = 1$ верно. Значит, $x=0$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $0$.

в) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$
Рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x - 1$ и $y_2 = -\sqrt{x}$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Функция $y_1 = 3^x - 1$ — строго возрастающая.
Функция $y_2 = -\sqrt{x}$ — строго убывающая на своей области определения $x \ge 0$.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.
Проверим $x=0$:
Левая часть: $3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $-\sqrt{0} = 0$.
Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=0$ является единственным корнем.
Можно также отметить, что при $x > 0$ левая часть $3^x - 1 > 0$, а правая часть $-\sqrt{x} < 0$, поэтому других корней быть не может.
Ответ: $0$.

г) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$
Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является строго убывающей.
Функция $y_2 = \sqrt{x} - \frac{2}{3}$ является строго возрастающей на своей области определения.
Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень подбором. Проверим $x=1$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.
Правая часть: $\sqrt{1} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Равенство $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ верно. Значит, $x=1$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $1$.

При каких значениях аргумента график заданной показательной функции расположен выше графика указанной линейной функции:

11.70. a) $y = 3^x$, $y = -x + 1$;

б) $y = 0.5^x$, $y = 2x + 1;

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1;

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1?

а)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 3^x$ расположен выше графика функции $y = -x + 1$. Это соответствует решению неравенства $3^x > -x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = -x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она возрастающая. Функция $g(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому она убывающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $3^x = -x + 1$. Перепишем его в виде $3^x + x - 1 = 0$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $3^0 + 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = 3^x + x - 1$. Ее производная $h'(x) = 3^x \ln 3 + 1$. Так как $3^x > 0$ и $\ln 3 > 0$, то $h'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x > 0$. Так как функция $f(x) = 3^x$ возрастает, а функция $g(x) = -x + 1$ убывает, то для любого $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x > 0$. Аналогично, для $x < 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 3^x$ расположен выше графика функции $y = -x + 1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 0,5^x$ расположен выше графика функции $y = 2x + 1$. Это соответствует решению неравенства $0,5^x > 2x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 0,5^x = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = 2x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она убывающая. Функция $g(x)$ является линейной с положительным угловым коэффициентом, поэтому она возрастающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $0,5^x = 2x + 1$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $0,5^0 = 1$ и $2 \cdot 0 + 1 = 1$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = 0,5^x - 2x - 1$. Ее производная $h'(x) = 0,5^x \ln(0,5) - 2$. Так как $0,5^x > 0$ и $\ln(0,5) < 0$, то $0,5^x \ln(0,5) < 0$. Следовательно, $h'(x) < 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x < 0$. Так как функция $f(x) = 0,5^x$ убывает, а функция $g(x) = 2x + 1$ возрастает, то для любого $x < 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x < 0$. Аналогично, для $x > 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 0,5^x$ расположен выше графика функции $y = 2x + 1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

в)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 5^x$ расположен выше графика функции $y = -2x + 1$. Это соответствует решению неравенства $5^x > -2x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = -2x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она возрастающая. Функция $g(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому она убывающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $5^x = -2x + 1$. Перепишем его в виде $5^x + 2x - 1 = 0$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $5^0 + 2 \cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = 5^x + 2x - 1$. Ее производная $h'(x) = 5^x \ln 5 + 2$. Так как $5^x > 0$ и $\ln 5 > 0$, то $h'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x > 0$. Так как функция $f(x) = 5^x$ возрастает, а функция $g(x) = -2x + 1$ убывает, то для любого $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x > 0$. Аналогично, для $x < 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 5^x$ расположен выше графика функции $y = -2x + 1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

г)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ расположен выше графика функции $y = x + 1$. Это соответствует решению неравенства $(\frac{1}{3})^x > x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она убывающая. Функция $g(x)$ является линейной с положительным угловым коэффициентом, поэтому она возрастающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 1$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$ и $0 + 1 = 1$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = (\frac{1}{3})^x - x - 1$. Ее производная $h'(x) = (\frac{1}{3})^x \ln(\frac{1}{3}) - 1$. Так как $(\frac{1}{3})^x > 0$ и $\ln(\frac{1}{3}) < 0$, то $(\frac{1}{3})^x \ln(\frac{1}{3}) < 0$. Следовательно, $h'(x) < 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x < 0$. Так как функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ убывает, а функция $g(x) = x + 1$ возрастает, то для любого $x < 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x < 0$. Аналогично, для $x > 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ расположен выше графика функции $y = x + 1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

11.71. a) $y = 2^x$, $y = x - 2$;

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, $y = x + 1$;

В) $y = \left(\sqrt{2}\right)^x$, $y = x - 4$;

Г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$, $y = -x - 2?$

Для решения данных задач необходимо найти количество точек пересечения графиков двух функций. Это эквивалентно нахождению количества корней уравнения, получаемого приравниванием правых частей данных уравнений.

а) $y = 2^x, y = x - 2$

Приравняем правые части уравнений: $2^x = x - 2$.

Для того чтобы существовало решение, необходимо, чтобы правая часть была положительной, так как $2^x > 0$ для любого $x$. Следовательно, $x - 2 > 0$, что означает $x > 2$.

Рассмотрим функцию $h(x) = 2^x - (x - 2) = 2^x - x + 2$. Нам нужно найти количество корней уравнения $h(x) = 0$.

Для анализа функции найдем её производную: $h'(x) = (2^x - x + 2)' = 2^x \ln 2 - 1$.

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$2^x \ln 2 - 1 = 0 \implies 2^x = \frac{1}{\ln 2}$.

Отсюда точка минимума $x_{min} = \log_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right) = -\log_2(\ln 2)$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$ в этой точке:

$h(x_{min}) = 2^{x_{min}} - x_{min} + 2 = \frac{1}{\ln 2} - (-\log_2(\ln 2)) + 2 = \frac{1}{\ln 2} + \log_2(\ln 2) + 2$.

Так как $\ln 2 \approx 0.693$, то $1/\ln 2 \approx 1.44$ и $\log_2(\ln 2) \approx \log_2(0.693) \approx -0.52$.

Минимальное значение функции $h(x_{min}) \approx 1.44 - 0.52 + 2 = 2.92$.

Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ больше нуля ($h(x_{min}) > 0$), функция $h(x)$ всегда положительна. Это означает, что $2^x - x + 2 > 0$ для всех $x$, и уравнение $2^x = x - 2$ не имеет действительных корней. Графики функций $y = 2^x$ и $y = x - 2$ не пересекаются.

Ответ: 0.

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x, y = x + 1$

Приравняем правые части уравнений: $\left(\frac{2}{5}\right)^x = x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ и $g(x) = x + 1$.

Функция $f(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ является показательной с основанием $a = \frac{2}{5}$, где $0 < a < 1$. Следовательно, эта функция является строго убывающей на всей области определения.

Функция $g(x) = x + 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом ($k=1$), следовательно, она является строго возрастающей на всей области определения.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Попробуем найти эту точку подбором.

Проверим значение $x=0$:

Левая часть: $\left(\frac{2}{5}\right)^0 = 1$.

Правая часть: $0 + 1 = 1$.

Так как левая часть равна правой, $x=0$ является корнем уравнения. Поскольку корень может быть только один, мы его нашли. Графики пересекаются в одной точке $(0, 1)$.

Ответ: 1.

в) $y = (\sqrt{2})^x, y = x - 4$

Приравняем правые части уравнений: $(\sqrt{2})^x = x - 4$.

Для существования решения необходимо, чтобы $x - 4 > 0$, т.е. $x > 4$, так как $(\sqrt{2})^x$ всегда положительно.

Рассмотрим функцию $h(x) = (\sqrt{2})^x - (x - 4) = (\sqrt{2})^x - x + 4$. Найдем количество корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную: $h'(x) = (\sqrt{2})^x \ln(\sqrt{2}) - 1 = (\sqrt{2})^x \frac{\ln 2}{2} - 1$.

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$(\sqrt{2})^x \frac{\ln 2}{2} = 1 \implies (\sqrt{2})^x = \frac{2}{\ln 2}$.

$x_{min} = \log_{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{\ln 2}\right) = 2\log_2\left(\frac{2}{\ln 2}\right) = 2(1 - \log_2(\ln 2))$.

Приближенное значение $x_{min} \approx 2(1 - (-0.528)) = 3.056$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$:

$h(x_{min}) = (\sqrt{2})^{x_{min}} - x_{min} + 4 = \frac{2}{\ln 2} - 2(1 - \log_2(\ln 2)) + 4 = \frac{2}{\ln 2} + 2 + 2\log_2(\ln 2)$.

Приближенное значение $h(x_{min}) \approx \frac{2}{0.693} + 2 + 2(-0.528) \approx 2.886 + 2 - 1.056 = 3.83 > 0$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно. Следовательно, $h(x) > 0$ для всех $x$, и уравнение $(\sqrt{2})^x = x - 4$ не имеет корней. Графики не пересекаются.

Ответ: 0.

г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x, y = -x - 2$

Приравняем правые части уравнений: $\left(\frac{3}{7}\right)^x = -x - 2$.

Для существования решения необходимо, чтобы $-x - 2 > 0$, т.е. $x < -2$, так как $\left(\frac{3}{7}\right)^x$ всегда положительно.

Рассмотрим функцию $h(x) = \left(\frac{3}{7}\right)^x - (-x - 2) = \left(\frac{3}{7}\right)^x + x + 2$. Найдем количество корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную: $h'(x) = \left(\frac{3}{7}\right)^x \ln\left(\frac{3}{7}\right) + 1$.

Найдем точку экстремума: $h'(x) = 0$.

$\left(\frac{3}{7}\right)^x \ln\left(\frac{3}{7}\right) = -1 \implies \left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{-1}{\ln(3/7)} = \frac{1}{\ln(7/3)}$.

$x_{min} = \log_{3/7}\left(\frac{1}{\ln(7/3)}\right)$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$:

$h(x_{min}) = \left(\frac{3}{7}\right)^{x_{min}} + x_{min} + 2 = \frac{1}{\ln(7/3)} + \log_{3/7}\left(\frac{1}{\ln(7/3)}\right) + 2$.

Оценим значение: $\ln(7/3) \approx 0.847 > 0$, поэтому $\frac{1}{\ln(7/3)} \approx 1.18$.

$\log_{3/7}\left(\frac{1}{\ln(7/3)}\right) = \frac{\ln(1/\ln(7/3))}{\ln(3/7)} = \frac{\ln(1.18)}{-\ln(7/3)} \approx \frac{0.165}{-0.847} \approx -0.195$.

$h(x_{min}) \approx 1.18 - 0.195 + 2 = 2.985 > 0$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно. Следовательно, $h(x) > 0$ для всех $x$, и уравнение $\left(\frac{3}{7}\right)^x = -x - 2$ не имеет корней. Графики не пересекаются.

Ответ: 0.

11.72. При каких значениях x график заданной показательной функции расположен ниже графика указанной линейной функции:

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x - 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x - 2$;

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$;

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5?

Чтобы найти значения x, при которых график показательной функции расположен ниже графика линейной функции, необходимо решить соответствующее неравенство $y_{показательная} < y_{линейная}$. Для решения таких трансцендентных неравенств мы проанализируем свойства функций (монотонность) и найдем точки их пересечения, если они существуют, часто используя метод подбора.

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x - 1$

Требуется решить неравенство $2^x < -\frac{3}{2}x - 1$. Рассмотрим функции $f(x) = 2^x$ и $g(x) = -\frac{3}{2}x - 1$. Функция $f(x) = 2^x$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Функция $g(x) = -\frac{3}{2}x - 1$ является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент $k = -\frac{3}{2} < 0$. Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения подбором. Проверим $x = -1$:
$f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
$g(-1) = -\frac{3}{2}(-1) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
Так как $f(-1) = g(-1)$, графики пересекаются в точке с абсциссой $x = -1$. Учитывая монотонность функций, при $x < -1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$ (возрастающая функция будет "ниже" убывающей слева от точки пересечения). Следовательно, график функции $y = 2^x$ расположен ниже графика функции $y = -\frac{3}{2}x - 1$ при $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x - 2$

Требуется решить неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x < -x - 2$. Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ и $g(x) = -x - 2$. Обе функции являются убывающими на всей числовой оси. Проанализируем разность функций $h(x) = f(x) - g(x) = 2^{-x} - (-x-2) = 2^{-x} + x + 2$. Нам нужно найти, при каких x выполняется $h(x) < 0$. Найдем производную функции $h(x)$, чтобы исследовать ее на экстремумы: $h'(x) = (2^{-x} + x + 2)' = -2^{-x}\ln 2 + 1$. Приравняем производную к нулю: $1 - 2^{-x}\ln 2 = 0 \implies 2^{-x} = \frac{1}{\ln 2}$. Это точка минимума, так как вторая производная $h''(x) = (\ln 2)^2 \cdot 2^{-x} > 0$ для любого x. Минимальное значение функции $h(x)$ равно $h_{min} = 2^{-x} + x + 2$. Из условия $2^{-x} = \frac{1}{\ln 2}$ находим $x = -\log_2(\ln 2)$. $h_{min} = \frac{1}{\ln 2} - \log_2(\ln 2) + 2$. Оценим значение $h_{min}$. Так как $2 < e < 3$, то $\ln 2 < \ln e = 1$. А так как $e > 2$, то $\sqrt{e} > \sqrt{2} \implies \ln(\sqrt{e}) > \ln(\sqrt{2}) \implies 0.5 > 0.5\ln 2$ (ошибка, $\sqrt{e} < 2$). Поскольку $e \approx 2.718$, то $\ln 2 \approx 0.693$. Таким образом, $\frac{1}{\ln 2} \approx \frac{1}{0.693} \approx 1.44$. $\log_2(\ln 2) = \frac{\ln(\ln 2)}{\ln 2} \approx \frac{\ln(0.693)}{0.693} \approx \frac{-0.367}{0.693} \approx -0.53$. $h_{min} \approx 1.44 - (-0.53) + 2$ (ошибка в знаке x). $x = \log_2(\ln 2)$. $h_{min} = \frac{1}{\ln 2} + \log_2(\ln 2) + 2 \approx 1.44 - 0.53 + 2 = 2.91 > 0$. Минимальное значение функции $h(x)$ положительно, следовательно, $h(x) = 2^{-x} + x + 2 > 0$ для всех действительных x. Это означает, что $2^{-x} > -x - 2$ для всех x, и неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x < -x - 2$ не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$

Требуется решить неравенство $\left(\frac{1}{5}\right)^x < 3x + 1$. Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ и $g(x) = 3x + 1$. Функция $f(x)$ является строго убывающей. Функция $g(x)$ является строго возрастающей ($k=3 > 0$). Их графики могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения подбором. При $x = 0$:
$f(0) = \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$
$g(0) = 3(0) + 1 = 1$
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 0$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 0$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$ (убывающая функция станет "ниже" возрастающей справа от точки пересечения). Следовательно, график функции $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ расположен ниже графика функции $y = 3x + 1$ при $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5$

Требуется решить неравенство $3^x < -2x + 5$. Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = -2x + 5$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей. Функция $g(x)$ является строго убывающей ($k=-2 < 0$). Их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем ее подбором. При $x = 1$:
$f(1) = 3^1 = 3$
$g(1) = -2(1) + 5 = 3$
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 1$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < 1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 3^x$ расположен ниже графика функции $y = -2x + 5$ при $x < 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.