Страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

○12.17. a) $3^x - 3^{x+3} = -78;$

б) $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4{,}8;$

в) $2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = 49;$

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}.$

а) $3^x - 3^{x+3} = -78$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем второй член уравнения:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3^x - 27 \cdot 3^x = -78$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 - 27) = -78$

$3^x(-26) = -78$

Теперь найдем $3^x$, разделив обе части уравнения на $-26$:

$3^x = \frac{-78}{-26}$

$3^x = 3$

Так как $3$ можно представить как $3^1$, получаем уравнение $3^x = 3^1$. Поскольку основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$.

б) $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4,8$

Преобразуем члены уравнения, используя свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.

$5^{2x} \cdot 5^{-1} - 5^{2x} \cdot 5^{-3} = \frac{24}{5}$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x}(5^{-1} - 5^{-3}) = \frac{24}{5}$

Вычислим выражение в скобках: $5^{-1} = \frac{1}{5}$, $5^{-3} = \frac{1}{125}$.

$5^{2x}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{125}\right) = \frac{24}{5}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$5^{2x}\left(\frac{25}{125} - \frac{1}{125}\right) = \frac{24}{5}$

$5^{2x} \cdot \frac{24}{125} = \frac{24}{5}$

Разделим обе части на $\frac{24}{125}$:

$5^{2x} = \frac{24}{5} \div \frac{24}{125} = \frac{24}{5} \cdot \frac{125}{24}$

$5^{2x} = \frac{125}{5} = 25$

Представим $25$ как степень с основанием $5$: $25 = 5^2$.

$5^{2x} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $1$.

в) $2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = 49$

Преобразуем второй член, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^1$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot \frac{1}{7} = 49$

Упростим второй член: $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.

$2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} = 49$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}$ за скобки:

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}(2 - 1) = 49$

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot 1 = 49$

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} = 49$

Чтобы решить уравнение, представим обе части как степени с одинаковым основанием. Выберем основание 7. Используем то, что $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ и $49 = 7^2$:

$(7^{-1})^{3x+7} = 7^2$

$7^{-(3x+7)} = 7^2$

$7^{-3x-7} = 7^2$

Приравниваем показатели степеней:

$-3x - 7 = 2$

$-3x = 2 + 7$

$-3x = 9$

$x = \frac{9}{-3} = -3$

Ответ: $-3$.

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Преобразуем первый член, используя свойство $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Так как $(\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$, уравнение принимает вид:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} + 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}$ за скобки:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}(3 + 1) = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot 4 = \frac{4}{9}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9 \cdot 4}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{1}{9}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$

Приравниваем показатели степеней:

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

12.18. a) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} = 57;$

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} = 160;$

в) $100 \cdot 0,3^{4x+2} - 0,09^{2x} + 5 \cdot 0,0081^x = 13;$

г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0,25} + \left(\frac{1}{4}\right)^{2x+1} - \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+3} = \frac{5}{4}.$

а) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} = 57$

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть уравнения:

$7^{2x} \cdot 7^1 + 7^{2x} \cdot 7^2 + 7^{2x} \cdot 7^3 = 57$

Вынесем общий множитель $7^{2x}$ за скобки:

$7^{2x}(7^1 + 7^2 + 7^3) = 57$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7 + 49 + 343 = 399$

Подставим полученное значение в уравнение:

$7^{2x} \cdot 399 = 57$

Выразим $7^{2x}$:

$7^{2x} = \frac{57}{399}$

Сократим дробь. Заметим, что $399 = 57 \cdot 7$.

$7^{2x} = \frac{1}{7}$

Представим $\frac{1}{7}$ как степень с основанием 7:

$7^{2x} = 7^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -0.5$.

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} = 160$

Используя свойства степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, преобразуем левую часть:

$2^{4x} \cdot 2^{-1} + 2^{4x} \cdot 2^{-2} - 2^{4x} \cdot 2^{-3} = 160$

Вынесем общий множитель $2^{4x}$ за скобки:

$2^{4x}(2^{-1} + 2^{-2} - 2^{-3}) = 160$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$2^{4x} \cdot \frac{5}{8} = 160$

Выразим $2^{4x}$:

$2^{4x} = 160 \cdot \frac{8}{5} = 32 \cdot 8$

Представим правую часть как степень с основанием 2:

$32 = 2^5$, $8 = 2^3$, поэтому $32 \cdot 8 = 2^5 \cdot 2^3 = 2^8$.

$2^{4x} = 2^8$

Приравняем показатели степеней:

$4x = 8$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

в) $100 \cdot 0.3^{4x+2} - 0.09^{2x} + 5 \cdot 0.0081^x = 13$

Приведем все степени к одному основанию $0.3$:

$0.09 = (0.3)^2$

$0.0081 = (0.3)^4$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$100 \cdot 0.3^{4x+2} - ((0.3)^2)^{2x} + 5 \cdot ((0.3)^4)^x = 13$

Упростим, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$100 \cdot (0.3)^{4x} \cdot (0.3)^2 - (0.3)^{4x} + 5 \cdot (0.3)^{4x} = 13$

Вычислим числовые коэффициенты:

$100 \cdot (0.3)^2 = 100 \cdot 0.09 = 9$

Уравнение примет вид:

$9 \cdot (0.3)^{4x} - (0.3)^{4x} + 5 \cdot (0.3)^{4x} = 13$

Вынесем общий множитель $(0.3)^{4x}$ за скобки:

$(0.3)^{4x}(9 - 1 + 5) = 13$

$(0.3)^{4x} \cdot 13 = 13$

Разделим обе части на 13:

$(0.3)^{4x} = 1$

Представим 1 как степень с основанием 0.3:

$(0.3)^{4x} = (0.3)^0$

Приравняем показатели степеней:

$4x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

г) $(\frac{1}{16})^{x+0.25} + (\frac{1}{4})^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Подставим эти значения в уравнение:

$((\frac{1}{2})^4)^{x+0.25} + ((\frac{1}{2})^2)^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

Упростим показатели степеней, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{2})^{4(x+0.25)} + (\frac{1}{2})^{2(2x+1)} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

$(\frac{1}{2})^{4x+1} + (\frac{1}{2})^{4x+2} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{2})^{4x}$:

$(\frac{1}{2})^{4x} \left( (\frac{1}{2})^1 + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^3 \right) = \frac{5}{4}$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

Уравнение примет вид:

$(\frac{1}{2})^{4x} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{4}$

Выразим $(\frac{1}{2})^{4x}$:

$(\frac{1}{2})^{4x} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{4} = 2$

Представим 2 как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$2 = (\frac{1}{2})^{-1}$

Получим уравнение:

$(\frac{1}{2})^{4x} = (\frac{1}{2})^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $x = -0.25$.

12.19. a) $2^{3x} - 6 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x - 8 = 0;$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3x} - 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} + 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x - 64 = 0;$

в) $5^x + 6 \cdot \left(\sqrt[3]{25}\right)^x + 12 \cdot \left(\sqrt[3]{5}\right)^x + 8 = 343;$

г) $2^x + 3 \cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^x + 3 \cdot \left(\sqrt[3]{2}\right)^x + 1 = 27.$

а) $2^{3x} - 6 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x - 8 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойства степени: $(2^x)^3 - 6 \cdot (2^x)^2 + 12 \cdot 2^x - 8 = 0$.
Введем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Тогда уравнение примет вид:
$y^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0$.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В нашем случае $a = y$ и $b = 2$, так как $3a^2b = 3 \cdot y^2 \cdot 2 = 6y^2$, $3ab^2 = 3 \cdot y \cdot 2^2 = 12y$ и $b^3 = 2^3 = 8$.
Следовательно, уравнение можно записать в виде:
$(y - 2)^3 = 0$.
Отсюда следует, что $y - 2 = 0$, то есть $y = 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной:
$2^x = 2$.
Так как $2 = 2^1$, получаем $2^x = 2^1$.
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

б) $(\frac{1}{2})^{3x} - 12 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} + 48 \cdot (\frac{1}{2})^x - 64 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойства степени: $((\frac{1}{2})^x)^3 - 12 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 48 \cdot (\frac{1}{2})^x - 64 = 0$.
Введем замену переменной. Пусть $y = (\frac{1}{2})^x$. Уравнение примет вид:
$y^3 - 12y^2 + 48y - 64 = 0$.
Левая часть уравнения является формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном случае $a = y$ и $b = 4$, так как $3a^2b = 3 \cdot y^2 \cdot 4 = 12y^2$, $3ab^2 = 3 \cdot y \cdot 4^2 = 48y$ и $b^3 = 4^3 = 64$.
Таким образом, уравнение можно записать как:
$(y - 4)^3 = 0$.
Отсюда $y - 4 = 0$, то есть $y = 4$.
Вернемся к замене:
$(\frac{1}{2})^x = 4$.
Представим обе части уравнения как степени двойки: $2^{-x} = 2^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 2$.
$x = -2$.
Ответ: $x=-2$.

в) $5^x + 6 \cdot (\sqrt[3]{25})^x + 12 \cdot (\sqrt[3]{5})^x + 8 = 343$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней и корней:
$5^x = (5^{x/3})^3$
$(\sqrt[3]{25})^x = (25^{1/3})^x = ((5^2)^{1/3})^x = (5^{2/3})^x = (5^{x/3})^2$
$(\sqrt[3]{5})^x = (5^{1/3})^x = 5^{x/3}$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(5^{x/3})^3 + 6 \cdot (5^{x/3})^2 + 12 \cdot 5^{x/3} + 8 = 343$.
Введем замену переменной. Пусть $y = 5^{x/3}$. Уравнение примет вид:
$y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = 343$.
Левая часть уравнения является формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a = y$ и $b = 2$.
Следовательно, $(y+2)^3 = 343$.
Так как $343 = 7^3$, получаем $(y+2)^3 = 7^3$.
Отсюда $y+2 = 7$, то есть $y = 5$.
Вернемся к замене:
$5^{x/3} = 5$.
$5^{x/3} = 5^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$x/3 = 1$.
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

г) $2^x + 3 \cdot (\sqrt[3]{4})^x + 3 \cdot (\sqrt[3]{2})^x + 1 = 27$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней и корней:
$2^x = (2^{x/3})^3$
$(\sqrt[3]{4})^x = (4^{1/3})^x = ((2^2)^{1/3})^x = (2^{2/3})^x = (2^{x/3})^2$
$(\sqrt[3]{2})^x = (2^{1/3})^x = 2^{x/3}$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(2^{x/3})^3 + 3 \cdot (2^{x/3})^2 + 3 \cdot 2^{x/3} + 1 = 27$.
Введем замену переменной. Пусть $y = 2^{x/3}$. Уравнение примет вид:
$y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = 27$.
Левая часть уравнения является формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
В нашем случае $a = y$ и $b = 1$.
Следовательно, $(y+1)^3 = 27$.
Так как $27 = 3^3$, получаем $(y+1)^3 = 3^3$.
Отсюда $y+1 = 3$, то есть $y = 2$.
Вернемся к замене:
$2^{x/3} = 2$.
$2^{x/3} = 2^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$x/3 = 1$.
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

12.20. a) $(3^{2x} - 1) \cdot (3^{4x} + 3^{2x} + 1) = 26;$

б) $(5^{2x} + 1) \cdot (5^{4x} - 5^{2x} + 1) = 126;$

в) $((\sqrt{7})^x - 1) \cdot (7^x + (\sqrt{7})^x + 1) = 342;$

г) $((\sqrt[3]{11})^x + 1) \cdot ((\sqrt[3]{121})^x - (\sqrt[3]{11})^x + 1) = 122.$

а) $(3^{2x} - 1) \cdot (3^{4x} + 3^{2x} + 1) = 26$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

Пусть $a = 3^{2x}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (3^{2x})^2 = 3^{4x}$. Уравнение можно переписать в виде:

$(3^{2x} - 1) \cdot ((3^{2x})^2 + 3^{2x} \cdot 1 + 1^2) = 26$

Применяя формулу разности кубов, получаем:

$(3^{2x})^3 - 1^3 = 26$

$3^{6x} - 1 = 26$

Переносим 1 в правую часть:

$3^{6x} = 27$

Представим 27 как степень числа 3:

$3^{6x} = 3^3$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) $(5^{2x} + 1) \cdot (5^{4x} - 5^{2x} + 1) = 126$

Для решения этого уравнения используем формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Пусть $a = 5^{2x}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (5^{2x})^2 = 5^{4x}$. Уравнение принимает вид:

$(5^{2x} + 1) \cdot ((5^{2x})^2 - 5^{2x} \cdot 1 + 1^2) = 126$

Применив формулу суммы кубов, получаем:

$(5^{2x})^3 + 1^3 = 126$

$5^{6x} + 1 = 126$

Переносим 1 в правую часть:

$5^{6x} = 125$

Представим 125 как степень числа 5:

$5^{6x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

в) $((\sqrt{7})^x - 1) \cdot (7^x + (\sqrt{7})^x + 1) = 342$

Сначала преобразуем выражения: $(\sqrt{7})^x = (7^{1/2})^x = 7^{x/2}$ и $7^x = (7^{1/2 \cdot 2})^x = ((7^{1/2})^x)^2 = (7^{x/2})^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(7^{x/2} - 1) \cdot ((7^{x/2})^2 + 7^{x/2} + 1) = 342$

Снова используем формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a = 7^{x/2}$ и $b=1$.

$(7^{x/2})^3 - 1^3 = 342$

$7^{3x/2} - 1 = 342$

$7^{3x/2} = 343$

Так как $343 = 7^3$, получаем:

$7^{3x/2} = 7^3$

Приравниваем показатели:

$\frac{3x}{2} = 3$

$3x = 6$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

г) $((\sqrt[3]{11})^x + 1) \cdot ((\sqrt[3]{121})^x - (\sqrt[3]{11})^x + 1) = 122$

Преобразуем выражения: $(\sqrt[3]{11})^x = (11^{1/3})^x = 11^{x/3}$ и $(\sqrt[3]{121})^x = (\sqrt[3]{11^2})^x = (11^{2/3})^x = (11^{x/3})^2$.

Подставляем в уравнение:

$(11^{x/3} + 1) \cdot ((11^{x/3})^2 - 11^{x/3} + 1) = 122$

Используем формулу суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a = 11^{x/3}$ и $b=1$.

$(11^{x/3})^3 + 1^3 = 122$

$11^x + 1 = 122$

$11^x = 121$

Так как $121 = 11^2$, получаем:

$11^x = 11^2$

Отсюда:

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

12.21. a) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$

Б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0;$

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0;$

Г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0.$

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойство степеней $a^{bc} = (a^b)^c$:

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8. Это числа 2 и 4.

$t_1 = 2$, $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) $2^x = t_1 = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2) $2^x = t_2 = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Решим его. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

в) $(\frac{1}{6})^{2x} - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Перепишем уравнение:

$((\frac{1}{6})^x)^2 - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 5. Это числа 6 и -1.

$t_1 = 6$, $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 6$:

$(\frac{1}{6})^x = 6$

$(6^{-1})^x = 6^1$

$6^{-x} = 6^1$

$-x = 1$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

г) $(\frac{1}{6})^{2x} + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Перепишем уравнение:

$((\frac{1}{6})^x)^2 + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна -5. Это числа 1 и -6.

$t_1 = 1$, $t_2 = -6$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$(\frac{1}{6})^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому можно записать:

$(\frac{1}{6})^x = (\frac{1}{6})^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.