Номер 12.20, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.20, страница 75.

12.20. a) $(3^{2x} - 1) \cdot (3^{4x} + 3^{2x} + 1) = 26;$

б) $(5^{2x} + 1) \cdot (5^{4x} - 5^{2x} + 1) = 126;$

в) $((\sqrt{7})^x - 1) \cdot (7^x + (\sqrt{7})^x + 1) = 342;$

г) $((\sqrt[3]{11})^x + 1) \cdot ((\sqrt[3]{121})^x - (\sqrt[3]{11})^x + 1) = 122.$

а) $(3^{2x} - 1) \cdot (3^{4x} + 3^{2x} + 1) = 26$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

Пусть $a = 3^{2x}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (3^{2x})^2 = 3^{4x}$. Уравнение можно переписать в виде:

$(3^{2x} - 1) \cdot ((3^{2x})^2 + 3^{2x} \cdot 1 + 1^2) = 26$

Применяя формулу разности кубов, получаем:

$(3^{2x})^3 - 1^3 = 26$

$3^{6x} - 1 = 26$

Переносим 1 в правую часть:

$3^{6x} = 27$

Представим 27 как степень числа 3:

$3^{6x} = 3^3$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) $(5^{2x} + 1) \cdot (5^{4x} - 5^{2x} + 1) = 126$

Для решения этого уравнения используем формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Пусть $a = 5^{2x}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (5^{2x})^2 = 5^{4x}$. Уравнение принимает вид:

$(5^{2x} + 1) \cdot ((5^{2x})^2 - 5^{2x} \cdot 1 + 1^2) = 126$

Применив формулу суммы кубов, получаем:

$(5^{2x})^3 + 1^3 = 126$

$5^{6x} + 1 = 126$

Переносим 1 в правую часть:

$5^{6x} = 125$

Представим 125 как степень числа 5:

$5^{6x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

в) $((\sqrt{7})^x - 1) \cdot (7^x + (\sqrt{7})^x + 1) = 342$

Сначала преобразуем выражения: $(\sqrt{7})^x = (7^{1/2})^x = 7^{x/2}$ и $7^x = (7^{1/2 \cdot 2})^x = ((7^{1/2})^x)^2 = (7^{x/2})^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(7^{x/2} - 1) \cdot ((7^{x/2})^2 + 7^{x/2} + 1) = 342$

Снова используем формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a = 7^{x/2}$ и $b=1$.

$(7^{x/2})^3 - 1^3 = 342$

$7^{3x/2} - 1 = 342$

$7^{3x/2} = 343$

Так как $343 = 7^3$, получаем:

$7^{3x/2} = 7^3$

Приравниваем показатели:

$\frac{3x}{2} = 3$

$3x = 6$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

г) $((\sqrt[3]{11})^x + 1) \cdot ((\sqrt[3]{121})^x - (\sqrt[3]{11})^x + 1) = 122$

Преобразуем выражения: $(\sqrt[3]{11})^x = (11^{1/3})^x = 11^{x/3}$ и $(\sqrt[3]{121})^x = (\sqrt[3]{11^2})^x = (11^{2/3})^x = (11^{x/3})^2$.

Подставляем в уравнение:

$(11^{x/3} + 1) \cdot ((11^{x/3})^2 - 11^{x/3} + 1) = 122$

Используем формулу суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a = 11^{x/3}$ и $b=1$.

$(11^{x/3})^3 + 1^3 = 122$

$11^x + 1 = 122$

$11^x = 121$

Так как $121 = 11^2$, получаем:

$11^x = 11^2$

Отсюда:

$x = 2$

Ответ: $x=2$.