Номер 12.16, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.16, страница 74.

12.16. a) $4(\sqrt{5} - 2)^{x - 12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x - 12}$;

б) $9(3 - \sqrt{8})^{2x + 1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x + 1}$.

а) Исходное уравнение: $4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x-12}$.
Первым шагом упростим выражение в скобках в правой части уравнения. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5} - 2)$:
$\frac{2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{1} = 2(\sqrt{5} - 2)$.
Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное уравнение:
$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = (2(\sqrt{5} - 2))^{x-12}$.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ для правой части:
$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = 2^{x-12} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{x-12}$.
Заметим, что основание $\sqrt{5} - 2 > 0$ (поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$). Следовательно, выражение $(\sqrt{5} - 2)^{x-12}$ никогда не равно нулю, и мы можем безопасно разделить обе части уравнения на него:
$4 = 2^{x-12}$.
Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.
$2^2 = 2^{x-12}$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$2 = x - 12$.
Отсюда находим $x$:
$x = 2 + 12 = 14$.
Ответ: $x=14$.

б) Исходное уравнение: $9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x+1}$.
Как и в предыдущем задании, начнем с упрощения выражения в правой части. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3 - \sqrt{8})$:
$\frac{3}{3 + \sqrt{8}} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{(3 + \sqrt{8})(3 - \sqrt{8})} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{9 - 8} = 3(3 - \sqrt{8})$.
Подставим результат в исходное уравнение:
$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = (3(3 - \sqrt{8}))^{2x+1}$.
Применим свойство степени к правой части:
$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot (3 - \sqrt{8})^{2x+1}$.
Основание $3 - \sqrt{8} > 0$ (поскольку $\sqrt{8} \approx 2.828$). Значит, выражение $(3 - \sqrt{8})^{2x+1}$ не равно нулю, и на него можно разделить обе части уравнения:
$9 = 3^{2x+1}$.
Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^2 = 3^{2x+1}$.
Приравниваем показатели степеней, так как их основания равны:
$2 = 2x + 1$.
Решаем полученное линейное уравнение:
$2x = 2 - 1$.
$2x = 1$.
$x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x=\frac{1}{2}$.