Номер 12.18, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.18, страница 75.

12.18. a) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} = 57;$

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} = 160;$

в) $100 \cdot 0,3^{4x+2} - 0,09^{2x} + 5 \cdot 0,0081^x = 13;$

г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0,25} + \left(\frac{1}{4}\right)^{2x+1} - \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+3} = \frac{5}{4}.$

а) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} = 57$

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть уравнения:

$7^{2x} \cdot 7^1 + 7^{2x} \cdot 7^2 + 7^{2x} \cdot 7^3 = 57$

Вынесем общий множитель $7^{2x}$ за скобки:

$7^{2x}(7^1 + 7^2 + 7^3) = 57$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7 + 49 + 343 = 399$

Подставим полученное значение в уравнение:

$7^{2x} \cdot 399 = 57$

Выразим $7^{2x}$:

$7^{2x} = \frac{57}{399}$

Сократим дробь. Заметим, что $399 = 57 \cdot 7$.

$7^{2x} = \frac{1}{7}$

Представим $\frac{1}{7}$ как степень с основанием 7:

$7^{2x} = 7^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -0.5$.

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} = 160$

Используя свойства степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, преобразуем левую часть:

$2^{4x} \cdot 2^{-1} + 2^{4x} \cdot 2^{-2} - 2^{4x} \cdot 2^{-3} = 160$

Вынесем общий множитель $2^{4x}$ за скобки:

$2^{4x}(2^{-1} + 2^{-2} - 2^{-3}) = 160$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$2^{4x} \cdot \frac{5}{8} = 160$

Выразим $2^{4x}$:

$2^{4x} = 160 \cdot \frac{8}{5} = 32 \cdot 8$

Представим правую часть как степень с основанием 2:

$32 = 2^5$, $8 = 2^3$, поэтому $32 \cdot 8 = 2^5 \cdot 2^3 = 2^8$.

$2^{4x} = 2^8$

Приравняем показатели степеней:

$4x = 8$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

в) $100 \cdot 0.3^{4x+2} - 0.09^{2x} + 5 \cdot 0.0081^x = 13$

Приведем все степени к одному основанию $0.3$:

$0.09 = (0.3)^2$

$0.0081 = (0.3)^4$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$100 \cdot 0.3^{4x+2} - ((0.3)^2)^{2x} + 5 \cdot ((0.3)^4)^x = 13$

Упростим, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$100 \cdot (0.3)^{4x} \cdot (0.3)^2 - (0.3)^{4x} + 5 \cdot (0.3)^{4x} = 13$

Вычислим числовые коэффициенты:

$100 \cdot (0.3)^2 = 100 \cdot 0.09 = 9$

Уравнение примет вид:

$9 \cdot (0.3)^{4x} - (0.3)^{4x} + 5 \cdot (0.3)^{4x} = 13$

Вынесем общий множитель $(0.3)^{4x}$ за скобки:

$(0.3)^{4x}(9 - 1 + 5) = 13$

$(0.3)^{4x} \cdot 13 = 13$

Разделим обе части на 13:

$(0.3)^{4x} = 1$

Представим 1 как степень с основанием 0.3:

$(0.3)^{4x} = (0.3)^0$

Приравняем показатели степеней:

$4x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

г) $(\frac{1}{16})^{x+0.25} + (\frac{1}{4})^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Подставим эти значения в уравнение:

$((\frac{1}{2})^4)^{x+0.25} + ((\frac{1}{2})^2)^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

Упростим показатели степеней, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{2})^{4(x+0.25)} + (\frac{1}{2})^{2(2x+1)} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

$(\frac{1}{2})^{4x+1} + (\frac{1}{2})^{4x+2} - (\frac{1}{2})^{4x+3} = \frac{5}{4}$

Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{2})^{4x}$:

$(\frac{1}{2})^{4x} \left( (\frac{1}{2})^1 + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^3 \right) = \frac{5}{4}$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

Уравнение примет вид:

$(\frac{1}{2})^{4x} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{4}$

Выразим $(\frac{1}{2})^{4x}$:

$(\frac{1}{2})^{4x} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{4} = 2$

Представим 2 как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$2 = (\frac{1}{2})^{-1}$

Получим уравнение:

$(\frac{1}{2})^{4x} = (\frac{1}{2})^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $x = -0.25$.