Номер 12.24, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.24, страница 76.

12.24. а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0;$

б) $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0;$

в) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0;$

г) $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0.$

а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:

$2^1 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 5t - 88 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-88) = 25 + 704 = 729 = 27^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 27}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5$.

Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 27}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$.

Этот корень удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$2^x = 8$

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$((\frac{1}{2})^x)^2 - (\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - 32 = 0$

$((\frac{1}{2})^x)^2 - (\frac{1}{2})^x \cdot 4 - 32 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Так как $t$ - значение показательной функции, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t - 32 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $4$, произведение равно $-32$. Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{2})^x = 8$

$2^{-x} = 2^3$

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

в) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$5^1 \cdot 5^{2x} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $5^x = t_1 = \frac{1}{5}$

$5^x = 5^{-1}$

$x_1 = -1$

2) $5^x = t_2 = 5$

$5^x = 5^1$

$x_2 = 1$

Ответ: $-1; 1$.

г) $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$((\frac{1}{3})^x)^2 + (\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-2} - 162 = 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 + (\frac{1}{3})^x \cdot 9 - 162 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{3})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 9t - 162 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729 = 27^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 27}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 27}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Этот корень удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{3})^x = 9$

$3^{-x} = 3^2$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.