Номер 12.29, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.29, страница 77.

12.29. а) $(2 - \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0;$

б) $(3 - 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0.$

а) $(2 - \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0$

Заметим, что основания степеней $(2 - \sqrt{3})$ и $(2 + \sqrt{3})$ являются сопряженными числами. Найдем их произведение:

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Из этого следует, что $(2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$((2 + \sqrt{3})^{-1})^x + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0$

$(2 + \sqrt{3})^{-x} + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (2 + \sqrt{3})^x$. Поскольку основание степени $(2 + \sqrt{3}) > 0$, то $t > 0$.

Тогда уравнение примет вид:

$\frac{1}{t} + t - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$1 + t^2 - 4t = 0$

$t^2 - 4t + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Оба корня $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$ положительны, так как $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$, поэтому они оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) Если $t = 2 + \sqrt{3}$, то $(2 + \sqrt{3})^x = 2 + \sqrt{3}$, откуда $x = 1$.

2) Если $t = 2 - \sqrt{3}$, то $(2 + \sqrt{3})^x = 2 - \sqrt{3}$. Так как $2 - \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$, получаем $(2 + \sqrt{3})^x = (2 + \sqrt{3})^{-1}$, откуда $x = -1$.

Ответ: $x = -1; 1$.

б) $(3 - 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0$

Аналогично предыдущему пункту, заметим, что основания степеней $(3 - 2\sqrt{2})$ и $(3 + 2\sqrt{2})$ являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Отсюда следует, что $(3 - 2\sqrt{2}) = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = (3 + 2\sqrt{2})^{-1}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$((3 + 2\sqrt{2})^{-1})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0$

$(3 + 2\sqrt{2})^{-x} + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = (3 + 2\sqrt{2})^x$. Так как $(3 + 2\sqrt{2}) > 0$, то $y > 0$.

Уравнение примет вид:

$\frac{1}{y} + y - 6 = 0$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$1 + y^2 - 6y = 0$

$y^2 - 6y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Оба корня $y_1 = 3 + 2\sqrt{2}$ и $y_2 = 3 - 2\sqrt{2}$ положительны, так как $3 = \sqrt{9} > \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, поэтому они удовлетворяют условию $y > 0$.

Вернемся к замене:

1) Если $y = 3 + 2\sqrt{2}$, то $(3 + 2\sqrt{2})^x = 3 + 2\sqrt{2}$, откуда $x = 1$.

2) Если $y = 3 - 2\sqrt{2}$, то $(3 + 2\sqrt{2})^x = 3 - 2\sqrt{2}$. Так как $3 - 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^{-1}$, получаем $(3 + 2\sqrt{2})^x = (3 + 2\sqrt{2})^{-1}$, откуда $x = -1$.

Ответ: $x = -1; 1$.