Номер 12.34, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.34, страница 77.

12.34. a) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0;$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0.$

а) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем его, представив основания степеней через общие множители. Заметим, что $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$ и $6 = 2 \cdot 3$. Подставим это в уравнение:

$(2 \cdot 3^2)^x - 8 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^x \cdot (3^2)^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$
$2^x \cdot 3^{2x} - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки. Так как $2^x > 0$ для любого действительного числа $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^x$:

$3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, например, через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$t_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9$
$t_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним. Вернемся к замене для $t_1 = 9$:

$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Преобразуем уравнение. Разложим основания $12$ и $6$ на множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$ и $6 = 2 \cdot 3$. Также используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(2^2 \cdot 3)^x - 6^x \cdot 6^1 + 8 \cdot 3^x = 0$
$(2^2)^x \cdot 3^x - 6 \cdot (2 \cdot 3)^x + 8 \cdot 3^x = 0$
$2^{2x} \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части уравнения на $3^x$:

$2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$, где $y > 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 6$
$y_1 \cdot y_2 = 8$

Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Вернемся к замене:

1) $2^x = y_1 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$

2) $2^x = y_2 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $1; 2$.