Номер 12.35, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.35, страница 77.

12.35. a) $24 \cdot 3^{2x^2-3x-2} - 2 \cdot 3^{2x^2-3x} + 3^{2x^2-3x-1} = 9;$

б) $5 \cdot 2^{x^2+5x+7} + 2^{x^2+5x+9} - 2^{x^2+5x+10} = 2.$

а) $24 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + 3^{2x^2 - 3x - 1} = 9$

В данном уравнении все показательные члены имеют одинаковое основание 3. Преобразуем их так, чтобы показатель степени был одинаковым. Выберем в качестве основного показателя $2x^2 - 3x - 2$.

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, выразим другие члены:

$3^{2x^2 - 3x} = 3^{(2x^2 - 3x - 2) + 2} = 3^{2x^2 - 3x - 2} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2}$

$3^{2x^2 - 3x - 1} = 3^{(2x^2 - 3x - 2) + 1} = 3^{2x^2 - 3x - 2} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$24 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} - 2 \cdot (9 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2}) + 3 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} = 9$

Введем замену переменной. Пусть $y = 3^{2x^2 - 3x - 2}$. Тогда уравнение примет вид:

$24y - 2 \cdot 9y + 3y = 9$

Решим это линейное уравнение относительно $y$:

$24y - 18y + 3y = 9$

$(24 - 18 + 3)y = 9$

$9y = 9$

$y = 1$

Вернемся к исходной переменной, подставив $y = 1$:

$3^{2x^2 - 3x - 2} = 1$

Так как $1 = 3^0$, мы можем приравнять показатели степеней:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -0.5$.

б) $5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 2^{x^2 + 5x + 9} - 2^{x^2 + 5x + 10} = 2$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем показательные члены, приведя их к одному показателю. Выберем в качестве основного показателя $x^2 + 5x + 7$.

Выразим другие члены через $2^{x^2 + 5x + 7}$:

$2^{x^2 + 5x + 9} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 2} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

$2^{x^2 + 5x + 10} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 3} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} - 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} = 2$

Вынесем общий множитель $2^{x^2 + 5x + 7}$ за скобки:

$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot (5 + 4 - 8) = 2$

$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 1 = 2$

$2^{x^2 + 5x + 7} = 2^1$

Теперь приравняем показатели степеней:

$x^2 + 5x + 7 = 1$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.