Номер 12.37, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.37, страница 77.

12.37. Решите уравнение:

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0;$

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0;$

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0.$

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$, $2^{2x} = (2^x)^2$, $3^{2x} = (3^x)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot (2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $3^{2x} > 0$ при любом значении $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $3^{2x}$:

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, должно выполняться условие $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения: $3t^2 + t - 2 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = \frac{2}{3}$ подходит.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1$

Отсюда $x=1$.

Ответ: $1$.

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

Преобразуем члены уравнения: $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$, $2^{2x} = (2^x)^2$, $5^{2x} = (5^x)^2$.

Уравнение принимает вид: $2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$.

Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$, так как $5^{2x} > 0$ для любого $x$.

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 3 \cdot (\frac{2}{5})^x - 5 = 0$

Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $t_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Корень $t_1 = -1$ не подходит, так как $t > 0$.

Возвращаемся к замене с $t_2 = \frac{5}{2}$:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1}$

Следовательно, $x = -1$.

Ответ: $-1$.

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение: $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$, $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$, $7^{2x} = (7^x)^2$.

Подставим в уравнение: $3 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot (7^x)^2 = 0$.

Это однородное уравнение. Разделим его на $7^{2x} > 0$:

$3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(7^x)^2} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{(7^x)^2} - 7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(7^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{3}{7})^{2x} - 4 \cdot (\frac{3}{7})^x - 7 = 0$

Произведем замену $t = (\frac{3}{7})^x$, где $t>0$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 4t - 7 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.

Корни: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = -1$ и $t_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{7}{3}$:

$(\frac{3}{7})^x = \frac{7}{3}$

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^{-1}$

Отсюда $x = -1$.

Ответ: $-1$.

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0$

Преобразуем уравнение: $15^x = 3^x \cdot 5^x$, $3^{2x}=(3^x)^2$, $25^x=(5^2)^x=5^{2x}=(5^x)^2$.

Получаем: $5 \cdot (3^x)^2 + 7 \cdot 3^x \cdot 5^x - 6 \cdot (5^x)^2 = 0$.

Разделим обе части на $5^{2x} > 0$:

$5 \cdot \frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} + 7 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$5 \cdot (\frac{3}{5})^{2x} + 7 \cdot (\frac{3}{5})^x - 6 = 0$

Сделаем замену $t = (\frac{3}{5})^x$, где $t>0$.

Получаем квадратное уравнение: $5t^2 + 7t - 6 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$.

Корни: $t_1 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 13}{10} = -2$ и $t_2 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Корень $t_1 = -2$ не подходит по условию $t>0$.

Возвращаемся к переменной $x$ с $t_2 = \frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^x = \frac{3}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^1$

Следовательно, $x=1$.

Ответ: $1$.