Номер 12.39, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.39, страница 78.

12.39. При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет корни:

a) $2^x = a;$

б) $8^{3x+1} = a + 3;$

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a;$

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = a^2?$

а) Чтобы уравнение $2^x = a$ имело корни, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(x) = 2^x$. Показательная функция $y = c^x$ при $c > 0$ и $c \neq 1$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и принимает только положительные значения. Множество значений функции $f(x) = 2^x$ есть интервал $(0, +\infty)$. Следовательно, уравнение имеет корни при $a > 0$.
Ответ: $a \in (0; +\infty)$.

б) Рассмотрим уравнение $8^{3x+1} = a + 3$. Левая часть уравнения представляет собой показательную функцию $f(x) = 8^{3x+1}$. Так как основание $8 > 1$, а показатель $3x+1$ при $x \in \mathbb{R}$ принимает любые действительные значения, множество значений этой функции — все положительные числа, то есть $E(f) = (0, +\infty)$. Уравнение будет иметь корни, если его правая часть, $a+3$, будет принадлежать этому множеству значений. Таким образом, должно выполняться неравенство $a+3 > 0$. Решая его, получаем $a > -3$.
Ответ: $a \in (-3; +\infty)$.

в) Преобразуем левую часть уравнения $\sqrt[3]{3^x} = -a$. Используя свойство степеней, получаем $(3^x)^{1/3} = 3^{x/3}$. Уравнение принимает вид $3^{x/3} = -a$. В левой части стоит показательная функция $f(x) = 3^{x/3}$, множество значений которой — все положительные числа, то есть $E(f) = (0, +\infty)$. Для существования корней необходимо, чтобы правая часть уравнения, $-a$, была положительной. Решаем неравенство $-a > 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $a < 0$.
Ответ: $a \in (-\infty; 0)$.

г) В уравнении $(\frac{1}{2})^x = a^2$ левая часть, $f(x) = (\frac{1}{2})^x$, является показательной функцией. Множество ее значений — это интервал $(0, +\infty)$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело корни, правая часть, $a^2$, должна быть строго больше нуля. Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $a$, то есть $a^2 \ge 0$. Условие $a^2 > 0$ выполняется для всех $a$, кроме $a=0$. Если $a=0$, то $a^2=0$, и уравнение $(\frac{1}{2})^x = 0$ корней не имеет, так как показательная функция не может равняться нулю. Таким образом, уравнение имеет корни при любых значениях $a$, кроме нуля.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.