Номер 12.33, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.33, страница 77.

12.33. a) $\frac{2^x + 1}{2^{x+2} - 2} = 1;$

б) $\frac{5^{4x-1} + 3}{5^{4x} - 3} = 2;$

В) $\frac{3^{x+1} - 1}{3^x + 4} = 2;$

Г) $\frac{7^{2x} - 1}{7^{2x-1} + 1} = 3.$

а) $\frac{2^x + 1}{2^{x+2} - 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $2^{x+2} - 2 \neq 0$.

$2^{x+2} \neq 2^1$

$x+2 \neq 1$

$x \neq -1$

Так как значение дроби равно 1, то числитель равен знаменателю:

$2^x + 1 = 2^{x+2} - 2$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования выражения $2^{x+2}$:

$2^x + 1 = 2^x \cdot 2^2 - 2$

$2^x + 1 = 4 \cdot 2^x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $2^x$, в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$1 + 2 = 4 \cdot 2^x - 2^x$

$3 = 3 \cdot 2^x$

$2^x = 1$

Представим 1 как степень двойки:

$2^x = 2^0$

Отсюда $x = 0$.

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $x=0$.

б) $\frac{5^{4x-1} + 3}{5^{4x} - 3} = 2$

ОДЗ: $5^{4x} - 3 \neq 0 \implies 5^{4x} \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $5^{4x} - 3$:

$5^{4x-1} + 3 = 2(5^{4x} - 3)$

$5^{4x-1} + 3 = 2 \cdot 5^{4x} - 6$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{5^{4x}}{5} + 3 = 2 \cdot 5^{4x} - 6$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а константы — в другую:

$3 + 6 = 2 \cdot 5^{4x} - \frac{1}{5} \cdot 5^{4x}$

$9 = (2 - \frac{1}{5}) \cdot 5^{4x}$

$9 = \frac{9}{5} \cdot 5^{4x}$

Разделим обе части на 9:

$1 = \frac{1}{5} \cdot 5^{4x}$

Умножим обе части на 5:

$5 = 5^{4x}$

$5^1 = 5^{4x}$

Приравниваем показатели степеней:

$1 = 4x$

$x = \frac{1}{4}$

Проверим ОДЗ: $5^{4 \cdot (1/4)} = 5^1 = 5 \neq 3$. Корень подходит.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

в) $\frac{3^{x+1} - 1}{3^x + 4} = 2$

Знаменатель $3^x + 4$ всегда положителен, так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа.

Умножим обе части на знаменатель:

$3^{x+1} - 1 = 2(3^x + 4)$

$3 \cdot 3^x - 1 = 2 \cdot 3^x + 8$

Сгруппируем слагаемые:

$3 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x = 8 + 1$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

г) $\frac{7^{2x} - 1}{7^{2x-1} + 1} = 3$

Знаменатель $7^{2x-1} + 1$ всегда положителен, так как $7^{2x-1} > 0$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа.

Умножим обе части на знаменатель:

$7^{2x} - 1 = 3(7^{2x-1} + 1)$

$7^{2x} - 1 = 3 \cdot 7^{2x-1} + 3$

Преобразуем $7^{2x-1}$:

$7^{2x} - 1 = 3 \cdot \frac{7^{2x}}{7} + 3$

Сгруппируем слагаемые:

$7^{2x} - \frac{3}{7} \cdot 7^{2x} = 3 + 1$

$(1 - \frac{3}{7}) \cdot 7^{2x} = 4$

$\frac{4}{7} \cdot 7^{2x} = 4$

Разделим обе части на 4 и умножим на 7:

$7^{2x} = 7$

$7^{2x} = 7^1$

Приравниваем показатели:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.