Номер 12.31, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.31, страница 77.

12.31. a) $32^x + 4^{x+1} = 5 \cdot 2^{-x}$;

б) $5 \cdot 125^x - 26 \cdot 5^x + 5^{1-x} = 0.$

а) $32^x + 4^{x+1} = 5 \cdot 2^{-x}$

Приведем все степени к основанию 2, так как $32 = 2^5$ и $4 = 2^2$.

$(2^5)^x + (2^2)^{x+1} = 5 \cdot 2^{-x}$

$2^{5x} + 2^{2(x+1)} = 5 \cdot 2^{-x}$

$2^{5x} + 2^{2x+2} = 5 \cdot 2^{-x}$

Умножим обе части уравнения на $2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, это является равносильным преобразованием.

$2^{5x} \cdot 2^x + 2^{2x+2} \cdot 2^x = 5 \cdot 2^{-x} \cdot 2^x$

$2^{5x+x} + 2^{2x+2+x} = 5 \cdot 2^{-x+x}$

$2^{6x} + 2^{3x+2} = 5 \cdot 2^0$

$2^{6x} + 2^{3x} \cdot 2^2 = 5$

$(2^{3x})^2 + 4 \cdot 2^{3x} - 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{3x}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 4y - 5 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант.
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -5$.

Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому отбрасываем его.

Возвращаемся к исходной переменной:

$y_1 = 1$

$2^{3x} = 1$

$2^{3x} = 2^0$

$3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) $5 \cdot 125^x - 26 \cdot 5^x + 5^{1-x} = 0$

Приведем все степени к основанию 5, так как $125 = 5^3$. Также преобразуем $5^{1-x} = \frac{5^1}{5^x} = \frac{5}{5^x}$.

$5 \cdot (5^3)^x - 26 \cdot 5^x + \frac{5}{5^x} = 0$

$5 \cdot 5^{3x} - 26 \cdot 5^x + \frac{5}{5^x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом $x$, это является равносильным преобразованием.

$(5 \cdot 5^{3x}) \cdot 5^x - (26 \cdot 5^x) \cdot 5^x + (\frac{5}{5^x}) \cdot 5^x = 0 \cdot 5^x$

$5 \cdot 5^{3x+x} - 26 \cdot 5^{x+x} + 5 = 0$

$5 \cdot 5^{4x} - 26 \cdot 5^{2x} + 5 = 0$

$5 \cdot (5^{2x})^2 - 26 \cdot 5^{2x} + 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{2x}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Оба корня положительны, поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Возвращаемся к исходной переменной для каждого корня.

1) $t_1 = 5$

$5^{2x} = 5$

$5^{2x} = 5^1$

$2x = 1$

$x_1 = \frac{1}{2}$

2) $t_2 = \frac{1}{5}$

$5^{2x} = \frac{1}{5}$

$5^{2x} = 5^{-1}$

$2x = -1$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.