Номер 12.32, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.32, страница 77.

12.32. a) $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^x + 1}$;

б) $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^x + 2}$;

В) $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^x + 1}$;

Г) $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^x + 2}$.

а) Решим уравнение $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x+1}}$.

Так как в верном равенстве дробей с одинаковыми ненулевыми числителями их знаменатели должны быть равны, получаем:

$3^x + 2 = 3^{x+1}$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем правую часть уравнения:

$3^x + 2 = 3^x \cdot 3^1$

$3^x + 2 = 3 \cdot 3^x$

Перенесем слагаемые, содержащие $3^x$, в одну сторону уравнения, а числа — в другую:

$2 = 3 \cdot 3^x - 3^x$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$2 = (3 - 1) \cdot 3^x$

$2 = 2 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на 2:

$1 = 3^x$

Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$), то:

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) Решим уравнение $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$.

Числители дробей равны и отличны от нуля, следовательно, знаменатели также должны быть равны:

$12^x + 143 = 12^{x+2}$

Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$12^x + 143 = 12^x \cdot 12^2$

$12^x + 143 = 144 \cdot 12^x$

Перенесем все слагаемые с $12^x$ в правую часть:

$143 = 144 \cdot 12^x - 12^x$

Вынесем общий множитель $12^x$ за скобки:

$143 = (144 - 1) \cdot 12^x$

$143 = 143 \cdot 12^x$

Разделим обе части на 143:

$1 = 12^x$

Отсюда находим x:

$x = 0$

Ответ: $0$.

В) Решим уравнение $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^{x+1}}$.

Так как числители дробей равны и не равны нулю, то равны и их знаменатели:

$5^x + 4 = 5^{x+1}$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:

$5^x + 4 = 5^x \cdot 5^1$

$5^x + 4 = 5 \cdot 5^x$

Сгруппируем слагаемые с переменной в одной части уравнения:

$4 = 5 \cdot 5^x - 5^x$

$4 = (5 - 1) \cdot 5^x$

$4 = 4 \cdot 5^x$

Разделим обе части на 4:

$1 = 5^x$

Зная, что $a^0=1$, находим корень уравнения:

$x = 0$

Ответ: $0$.

г) Решим уравнение $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^{x+2}}$.

Поскольку числители дробей равны и отличны от нуля, мы можем приравнять их знаменатели:

$11^x + 120 = 11^{x+2}$

Преобразуем $11^{x+2}$ по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$11^x + 120 = 11^x \cdot 11^2$

$11^x + 120 = 121 \cdot 11^x$

Перенесем слагаемые с $11^x$ в правую часть уравнения:

$120 = 121 \cdot 11^x - 11^x$

Вынесем $11^x$ за скобки:

$120 = (121 - 1) \cdot 11^x$

$120 = 120 \cdot 11^x$

Разделим обе части на 120:

$1 = 11^x$

Отсюда получаем:

$x = 0$

Ответ: $0$.