Номер 12.28, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.28, страница 77.

12.28. a) $(19 - 6\sqrt{10})^x + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0;$

б) $(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot (19 - 6\sqrt{10})^x - 1 = 0.$

а) $(19 - 6\sqrt{10})^x + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0$

Заметим, что основания степеней связаны между собой. Возведем в квадрат второе основание:

$(\sqrt{10} - 3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.

Таким образом, первое основание является квадратом второго. Подставим это соотношение в исходное уравнение:

$((\sqrt{10} - 3)^2)^x + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0$

$(\sqrt{10} - 3)^{2x} + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{10} - 3)^x$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то основание $\sqrt{10} - 3 > 0$. Следовательно, $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 6t - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2}$

$t_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{10}}{2} = -3 + \sqrt{10} = \sqrt{10} - 3$

$t_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{10}}{2} = -3 - \sqrt{10}$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = \sqrt{10} - 3 > 0$, так как $\sqrt{10} > 3$. Этот корень подходит.

Корень $t_2 = -3 - \sqrt{10} < 0$. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к исходной переменной $x$ с единственным подходящим корнем $t = \sqrt{10} - 3$:

$(\sqrt{10} - 3)^x = \sqrt{10} - 3$

$(\sqrt{10} - 3)^x = (\sqrt{10} - 3)^1$

Отсюда следует, что $x = 1$.

Ответ: $1$.

б) $(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot (19 - 6\sqrt{10})^x - 1 = 0$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся соотношением $19 - 6\sqrt{10} = (\sqrt{10} - 3)^2$. Подставим его в уравнение:

$(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot ((\sqrt{10} - 3)^2)^x - 1 = 0$

$(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^{2x} - 1 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\sqrt{10} - 3)^{2x}$.

Так как основание $\sqrt{10} - 3 > 0$, то и $y > 0$.

Тогда $(\sqrt{10} - 3)^{4x} = ((\sqrt{10} - 3)^{2x})^2 = y^2$. Уравнение принимает вид:

$y^2 - 6y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2}$

$y_1 = \frac{6 + 2\sqrt{10}}{2} = 3 + \sqrt{10}$

$y_2 = \frac{6 - 2\sqrt{10}}{2} = 3 - \sqrt{10}$

Проверим корни на соответствие условию $y > 0$.

Корень $y_1 = 3 + \sqrt{10} > 0$. Этот корень подходит.

Корень $y_2 = 3 - \sqrt{10} < 0$, так как $\sqrt{10} \approx 3.16 > 3$. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к исходной переменной $x$ с единственным подходящим корнем $y = 3 + \sqrt{10}$:

$(\sqrt{10} - 3)^{2x} = 3 + \sqrt{10}$

Чтобы решить это показательное уравнение, нужно привести правую часть к основанию $(\sqrt{10} - 3)$. Заметим, что $(\sqrt{10} - 3)$ и $(\sqrt{10} + 3)$ являются сопряженными выражениями.

Их произведение равно: $(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3) = (\sqrt{10})^2 - 3^2 = 10 - 9 = 1$.

Отсюда следует, что $\sqrt{10} + 3 = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} = (\sqrt{10} - 3)^{-1}$.

Подставим это в наше уравнение:

$(\sqrt{10} - 3)^{2x} = (\sqrt{10} - 3)^{-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.