Номер 12.23, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.23, страница 76.

○12.23.

a) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0;$

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0;$

в) $3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0;$

г) $5 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0.$

а) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что основание $\frac{1}{16}$ можно представить как квадрат основания $\frac{1}{4}$, то есть $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$.
Перепишем уравнение в виде:
$4 \cdot \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$
$4 \cdot \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2 - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$
Это уравнение сводится к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$
Оба корня ($t_1 = \frac{1}{4}$ и $t_2 = 4$) положительны, значит, оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = t_1 = \frac{1}{4} \implies \left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^1 \implies x_1 = 1$
2) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = t_2 = 4 \implies (4^{-1})^x = 4^1 \implies 4^{-x} = 4^1 \implies -x = 1 \implies x_2 = -1$
Ответ: $-1; 1$.

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
Заметим, что $0,01 = (0,1)^2$. Перепишем уравнение:
$\left((0,1)^2\right)^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
$\left((0,1)^x\right)^2 + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (0,1)^x$, при этом $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 + 9,9t - 1 = 0$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 10:
$10t^2 + 99t - 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 99^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-99 - 101}{2 \cdot 10} = \frac{-200}{20} = -10$
$t_2 = \frac{-99 + 101}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$
Корень $t_1 = -10$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Вернемся к исходной переменной для $t_2 = 0,1$:
$(0,1)^x = 0,1 \implies (0,1)^x = (0,1)^1 \implies x = 1$
Ответ: $1$.

в) $3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0$
Заметим, что $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Перепишем уравнение:
$3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0$
$3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$3t^2 + 7t - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$t_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{2}{3}$:
$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \implies x = 1$
Ответ: $1$.

г) $5 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0$
Заметим, что $\frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$. Перепишем уравнение:
$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0$
$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)^2 + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$5t^2 + 23t - 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-23 - 27}{2 \cdot 5} = \frac{-50}{10} = -5$
$t_2 = \frac{-23 + 27}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Корень $t_1 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{2}{5}$:
$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{2}{5} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^1 \implies x = 1$
Ответ: $1$.