Номер 12.17, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.17, страница 75.

Решите уравнение:

○12.17. a) $3^x - 3^{x+3} = -78;$

б) $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4{,}8;$

в) $2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = 49;$

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}.$

а) $3^x - 3^{x+3} = -78$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем второй член уравнения:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3^x - 27 \cdot 3^x = -78$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 - 27) = -78$

$3^x(-26) = -78$

Теперь найдем $3^x$, разделив обе части уравнения на $-26$:

$3^x = \frac{-78}{-26}$

$3^x = 3$

Так как $3$ можно представить как $3^1$, получаем уравнение $3^x = 3^1$. Поскольку основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$.

б) $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4,8$

Преобразуем члены уравнения, используя свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.

$5^{2x} \cdot 5^{-1} - 5^{2x} \cdot 5^{-3} = \frac{24}{5}$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x}(5^{-1} - 5^{-3}) = \frac{24}{5}$

Вычислим выражение в скобках: $5^{-1} = \frac{1}{5}$, $5^{-3} = \frac{1}{125}$.

$5^{2x}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{125}\right) = \frac{24}{5}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$5^{2x}\left(\frac{25}{125} - \frac{1}{125}\right) = \frac{24}{5}$

$5^{2x} \cdot \frac{24}{125} = \frac{24}{5}$

Разделим обе части на $\frac{24}{125}$:

$5^{2x} = \frac{24}{5} \div \frac{24}{125} = \frac{24}{5} \cdot \frac{125}{24}$

$5^{2x} = \frac{125}{5} = 25$

Представим $25$ как степень с основанием $5$: $25 = 5^2$.

$5^{2x} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $1$.

в) $2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = 49$

Преобразуем второй член, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^1$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot \frac{1}{7} = 49$

Упростим второй член: $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.

$2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} = 49$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}$ за скобки:

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}(2 - 1) = 49$

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot 1 = 49$

$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} = 49$

Чтобы решить уравнение, представим обе части как степени с одинаковым основанием. Выберем основание 7. Используем то, что $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ и $49 = 7^2$:

$(7^{-1})^{3x+7} = 7^2$

$7^{-(3x+7)} = 7^2$

$7^{-3x-7} = 7^2$

Приравниваем показатели степеней:

$-3x - 7 = 2$

$-3x = 2 + 7$

$-3x = 9$

$x = \frac{9}{-3} = -3$

Ответ: $-3$.

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Преобразуем первый член, используя свойство $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Так как $(\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$, уравнение принимает вид:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} + 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}$ за скобки:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}(3 + 1) = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot 4 = \frac{4}{9}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9 \cdot 4}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{1}{9}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$

Приравниваем показатели степеней:

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.