Номер 12.14, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.14, страница 74.

12.14. а) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x;$

б) $6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x};$

в) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x;$

г) $35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}.$

а)

Дано уравнение: $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x$.

Преобразуем уравнение, приведя степени к простым основаниям и используя их свойства. Заметим, что $49 = 7^2$ и $7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3^x \cdot (7^x \cdot 7^2) = 7^2 \cdot 4^x$

Разделим обе части уравнения на $7^2$ (поскольку $7^2 \neq 0$):

$3^x \cdot 7^x = 4^x$

Используем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для левой части:

$(3 \cdot 7)^x = 4^x$

$21^x = 4^x$

Разделим обе части на $4^x$ (это возможно, так как $4^x > 0$ для любого $x$):

$\frac{21^x}{4^x} = 1$

$(\frac{21}{4})^x = 1$

Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю.

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

б)

Дано уравнение: $6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$.

Разложим основание 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда уравнение примет вид:

$(2 \cdot 3)^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Применяя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями, разделив обе части уравнения на $2^{8+x}$ и $3^{2x+4}$:

$\frac{2^{2x+4}}{2^{8+x}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим выражения:

$2^{(2x+4)-(8+x)} = 3^{3x-(2x+4)}$

$2^{2x+4-8-x} = 3^{3x-2x-4}$

$2^{x-4} = 3^{x-4}$

Разделим обе части на $3^{x-4}$:

$\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}} = 1$

$(\frac{2}{3})^{x-4} = 1$

Это равенство истинно, только если показатель степени равен нулю:

$x-4=0$

$x=4$

Ответ: $x=4$.

в)

Дано уравнение: $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x$.

Преобразуем обе части уравнения. Разложим числа на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

$2^{x+1} = 2^1 \cdot 2^x$

$5^{x+3} = 5^3 \cdot 5^x = 125 \cdot 5^x$

$250 = 2 \cdot 125 = 2 \cdot 5^3$

$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$(2 \cdot 2^x) \cdot (125 \cdot 5^x) = (2 \cdot 5^3) \cdot 3^{2x}$

$2 \cdot 125 \cdot 2^x \cdot 5^x = 2 \cdot 125 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части на $2 \cdot 125$:

$2^x \cdot 5^x = 3^{2x}$

Сгруппируем степени:

$(2 \cdot 5)^x = (3^2)^x$

$10^x = 9^x$

Разделим обе части на $9^x$:

$(\frac{10}{9})^x = 1$

Показатель степени должен быть равен нулю:

$x=0$

Ответ: $x=0$.

г)

Дано уравнение: $35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$.

Разложим основание 35 на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$.

$(5 \cdot 7)^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Раскроем скобки в левой части:

$5^{4x+2} \cdot 7^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{5^{4x+2}}{5^{3x+4}} = \frac{7^{5x}}{7^{4x+2}}$

Упростим показатели степеней, вычитая их:

$5^{(4x+2)-(3x+4)} = 7^{5x-(4x+2)}$

$5^{4x+2-3x-4} = 7^{5x-4x-2}$

$5^{x-2} = 7^{x-2}$

Разделим обе части на $7^{x-2}$:

$(\frac{5}{7})^{x-2} = 1$

Равенство выполняется, если показатель степени равен нулю:

$x-2=0$

$x=2$

Ответ: $x=2$.