Номер 12.9, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.9, страница 74.

12.9. a) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125} \cdot 5^{6x-12};$

б) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}.$

а) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125} \cdot 5^{6x-12}$

Для решения данного уравнения необходимо привести все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5.
Преобразуем каждый множитель:

• $\sqrt{625} = \sqrt{25^2} = 25 = 5^2$
• $\sqrt{5^{14x-9}} = (5^{14x-9})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{14x-9}{2}}$
• $\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$5^2 \cdot 5^{\frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{6x-12}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^{2 + \frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{1}{2} + (6x-12)}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + \frac{14x-9}{2} = \frac{1}{2} + 6x - 12$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2 \cdot 2 + 2 \cdot \frac{14x-9}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (6x - 12)$

$4 + 14x - 9 = 1 + 12x - 24$

Упростим обе части уравнения:

$14x - 5 = 12x - 23$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$14x - 12x = -23 + 5$

$2x = -18$

$x = \frac{-18}{2}$

$x = -9$

Ответ: $-9$

б) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}$

Приведем все части уравнения к основанию 0,2.
Преобразуем каждый множитель, используя свойства степеней и корней ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$):

• $\sqrt[3]{0,2} = 0,2^{\frac{1}{3}}$
• $\sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = (0,2^{2x-\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = 0,2^{\frac{2x-\frac{1}{3}}{2}} = 0,2^{x-\frac{1}{6}}$
• $\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}} = \sqrt[3]{(0,2^2)^{-3x+6}} = \sqrt[3]{0,2^{2(-3x+6)}} = \sqrt[3]{0,2^{-6x+12}} = 0,2^{\frac{-6x+12}{3}} = 0,2^{-2x+4}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$0,2^{\frac{1}{3}} \cdot 0,2^{x-\frac{1}{6}} = 0,2^{-2x+4}$

Сложим показатели степеней в левой части уравнения:

$0,2^{\frac{1}{3} + x - \frac{1}{6}} = 0,2^{-2x+4}$

$0,2^{\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + x} = 0,2^{-2x+4}$

$0,2^{\frac{1}{6} + x} = 0,2^{-2x+4}$

Теперь приравняем показатели степеней:

$\frac{1}{6} + x = -2x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$x + 2x = 4 - \frac{1}{6}$

$3x = \frac{24}{6} - \frac{1}{6}$

$3x = \frac{23}{6}$

$x = \frac{23}{6} \div 3$

$x = \frac{23}{18}$

Ответ: $\frac{23}{18}$