Номер 12.10, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.10, страница 74.

12.10. a) $\frac{3^{x^2}}{9^x} = 27;$

б) $\frac{2^{x^2}}{4^x} = 4^4;$

В) $\frac{7^{x^2}}{49^{3x}} = 7^7;$

Г) $\frac{2^{2x^2}}{4^{3x}} = 4^4.$

а) Исходное уравнение: $\frac{3^{x^2}}{9^x} = 27$.

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3. Нам известно, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{3^{x^2}}{(3^2)^x} = 3^3$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим знаменатель:

$\frac{3^{x^2}}{3^{2x}} = 3^3$

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{x^2 - 2x} = 3^3$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 2x = 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2^{x^2}}{4^x} = 4^4$.

Приведем все части уравнения к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{2^{x^2}}{(2^2)^x} = (2^2)^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\frac{2^{x^2}}{2^{2x}} = 2^8$

Применяя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим левую часть:

$2^{x^2 - 2x} = 2^8$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x^2 - 2x = 8$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

в) Исходное уравнение: $\frac{7^{x^2}}{49^{3x}} = 7^7$.

Приведем все части уравнения к основанию 7. Нам известно, что $49 = 7^2$.

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{7^{x^2}}{(7^2)^{3x}} = 7^7$

Упростим знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{7^{x^2}}{7^{6x}} = 7^7$

Далее используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{x^2 - 6x} = 7^7$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 6x = 7$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -7$. Этим условиям удовлетворяют числа 7 и -1.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

$x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -1$.

г) Исходное уравнение: $\frac{2^{2x^2}}{4^{3x}} = 4^4$.

Приведем все части уравнения к основанию 2, так как $4 = 2^2$.

Подставим это в уравнение:

$\frac{2^{2x^2}}{(2^2)^{3x}} = (2^2)^4$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{2^{2x^2}}{2^{6x}} = 2^8$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{2x^2 - 6x} = 2^8$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 - 6x = 8$

Перенесем 8 в левую часть и разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 - 6x - 8 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Подходят корни 4 и -1.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -1$.