Номер 12.13, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.13, страница 74.

12.13. а) $2^x = 3^x$;

б) $25^x = 7^{2x}$;

В) $(\frac{1}{3})^{2x} = 8^x$;

Г) $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{5})^x$.

а) Дано показательное уравнение $2^x = 3^x$.
Поскольку основания степеней различны, а показатели одинаковы, мы можем разделить обе части уравнения на $3^x$. Это преобразование является равносильным, так как $3^x > 0$ при любых значениях $x$.
$\frac{2^x}{3^x} = \frac{3^x}{3^x}$
Используя свойство частного степеней с одинаковыми показателями $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:
$(\frac{2}{3})^x = 1$
Равенство $a^y = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) выполняется только тогда, когда показатель степени $y=0$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

б) Дано уравнение $25^x = 7^{2x}$.
Сначала приведем степени к одному показателю. Представим $25$ как $5^2$:
$(5^2)^x = 7^{2x}$
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{2x} = 7^{2x}$
Теперь, когда показатели степеней равны ($2x$), разделим обе части уравнения на $7^{2x}$ (так как $7^{2x} > 0$):
$\frac{5^{2x}}{7^{2x}} = 1$
$(\frac{5}{7})^{2x} = 1$
Это равенство истинно, когда показатель степени равен нулю:
$2x = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

в) Дано уравнение $(\frac{1}{3})^{2x} = 8^x$.
Приведем степени к одному показателю $x$. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство $(a^m)^n = (a^n)^m$:
$((\frac{1}{3})^2)^x = 8^x$
Вычислим значение в скобках:
$(\frac{1}{9})^x = 8^x$
Теперь, когда показатели степеней равны, разделим обе части на $8^x$ (так как $8^x > 0$):
$\frac{(\frac{1}{9})^x}{8^x} = 1$
$(\frac{1/9}{8})^x = 1$
$(\frac{1}{72})^x = 1$
Равенство выполняется, когда показатель степени равен нулю:
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

г) Дано уравнение $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{5})^x$.
Основания степеней различны, а показатели одинаковы. Разделим обе части уравнения на $(\frac{1}{5})^x$ (так как $(\frac{1}{5})^x > 0$):
$\frac{(\frac{1}{4})^x}{(\frac{1}{5})^x} = 1$
Используя свойство частного степеней, получаем:
$(\frac{1/4}{1/5})^x = 1$
Упростим основание дроби: $\frac{1/4}{1/5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{4}$.
$(\frac{5}{4})^x = 1$
Это равенство истинно только тогда, когда показатель степени равен нулю.
$x = 0$
Ответ: $x=0$.