Номер 12.8, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.8, страница 74.

Решите уравнение:

12.8. а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6};$

В) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243;$

б) $\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3} = 0,81^{-2x};$

Г) $\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4} = 20,25^{x+1}.$

а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым показателем $(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$
Используя свойство корней $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b})$, упростим выражение в скобках:
$(\sqrt{12 \cdot 3})^x = \frac{1}{6}$
$(\sqrt{36})^x = \frac{1}{6}$
$6^x = \frac{1}{6}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 6, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^x = 6^{-1}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = -1$
Ответ: -1

б) $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{3x^2 - 3} = 0,81^{-2x}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию.
Преобразуем правую часть. Представим десятичную дробь $0,81$ в виде обыкновенной дроби: $0,81 = \frac{81}{100}$.
Заметим, что $\frac{81}{100} = (\frac{9}{10})^2$.
Основание в левой части уравнения равно $\frac{\sqrt{10}}{3}$. Возведем его в квадрат: $(\frac{\sqrt{10}}{3})^2 = \frac{10}{9}$.
Видно, что основания $\frac{10}{9}$ и $\frac{9}{10}$ являются взаимно обратными числами, то есть $\frac{9}{10} = (\frac{10}{9})^{-1}$.
Приведем обе части уравнения к основанию $\frac{10}{9}$.
Левая часть: $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{3x^2 - 3} = ((\frac{10}{9})^{\frac{1}{2}})^{3x^2 - 3} = (\frac{10}{9})^{\frac{3x^2 - 3}{2}}$.
Правая часть: $0,81^{-2x} = ((\frac{9}{10})^2)^{-2x} = ((\frac{10}{9})^{-2})^{-2x} = (\frac{10}{9})^{4x}$.
Получаем уравнение:
$(\frac{10}{9})^{\frac{3x^2 - 3}{2}} = (\frac{10}{9})^{4x}$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{3x^2 - 3}{2} = 4x$
$3x^2 - 3 = 8x$
$3x^2 - 8x - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $3; -\frac{1}{3}$

в) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство $(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n)$:
$(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9})^{2x} = 243$
$(\sqrt[3]{3 \cdot 9})^{2x} = 243$
$(\sqrt[3]{27})^{2x} = 243$
$3^{2x} = 243$
Представим число 243 в виде степени с основанием 3:
$3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$.
Таким образом, $243 = 3^5$.
Подставим это в уравнение:
$3^{2x} = 3^5$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: 2,5

г) $(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}})^{x^2 + 4} = 20,25^{x+1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию.
Сначала преобразуем правую часть. Переведем десятичную дробь в обыкновенную:
$20,25 = 20\frac{25}{100} = 20\frac{1}{4} = \frac{80+1}{4} = \frac{81}{4}$.
Теперь преобразуем основание левой части: $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}$.
Попытаемся найти связь между основаниями $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}$ и $\frac{81}{4}$. Для этого представим основание левой части через степени: $\frac{2^{1/4}}{3^{1/2}}$.
Возведем это выражение в некоторую степень, чтобы избавиться от дробных показателей. Например, в 8-ю степень:
$(\frac{2^{1/4}}{3^{1/2}})^8 = \frac{(2^{1/4})^8}{(3^{1/2})^8} = \frac{2^{8/4}}{3^{8/2}} = \frac{2^2}{3^4} = \frac{4}{81}$.
Мы получили число, обратное основанию правой части: $\frac{4}{81} = (\frac{81}{4})^{-1}$.
Итак, $(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}})^8 = (\frac{81}{4})^{-1}$. Отсюда, извлекая корень 8-й степени, получаем: $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}} = ((\frac{81}{4})^{-1})^{1/8} = (\frac{81}{4})^{-1/8}$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$((\frac{81}{4})^{-1/8})^{x^2 + 4} = (\frac{81}{4})^{x+1}$
$(\frac{81}{4})^{-\frac{x^2+4}{8}} = (\frac{81}{4})^{x+1}$
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:
$-\frac{x^2+4}{8} = x+1$
Умножим обе части на -8:
$x^2+4 = -8(x+1)$
$x^2+4 = -8x - 8$
$x^2 + 8x + 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Подбором находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -6$.
Ответ: -6; -2