Номер 12.1, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.1, страница 73.

Решите уравнение:

12.1. а) $4^x = \frac{1}{16};$

б) $7^x = \frac{1}{343};$

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36;$

г) $0,2^x = 0,00032.$

а) $4^x = \frac{1}{16}$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. В качестве общего основания выберем число 4.

Правая часть уравнения, $\frac{1}{16}$, может быть представлена как степень числа 4. Сначала заметим, что $16 = 4^2$.

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем переписать правую часть:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$4^x = 4^{-2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -2$

Ответ: -2

б) $7^x = \frac{1}{343}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7.

Найдем, в какой степени число 7 дает 343:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 49 \times 7 = 343$

Таким образом, $343 = 7^3$.

Теперь представим правую часть уравнения как степень с основанием 7:

$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$

Подставим это в исходное уравнение:

$7^x = 7^{-3}$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = -3$

Ответ: -3

в) $(\frac{1}{6})^x = 36$

Для решения этого уравнения приведем обе части к основанию 6.

Левую часть уравнения можно преобразовать, используя свойство $(a^{-1})^n = a^{-n}$:

$(\frac{1}{6})^x = (6^{-1})^x = 6^{-x}$

Правую часть уравнения представим как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Теперь уравнение выглядит так:

$6^{-x} = 6^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x = 2$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -2$

Ответ: -2

г) $0,2^x = 0,00032$

В этом уравнении основание степени в левой части равно 0,2. Попробуем представить правую часть как степень числа 0,2.

Вычислим последовательно степени числа 0,2:

$0,2^1 = 0,2$

$0,2^2 = 0,04$

$0,2^3 = 0,008$

$0,2^4 = 0,0016$

$0,2^5 = 0,00032$

Таким образом, мы выяснили, что $0,00032 = 0,2^5$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$0,2^x = 0,2^5$

Поскольку основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x = 5$

Ответ: 5