Номер 11.79, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.79, страница 72.

11.79. Решите уравнение:

a) $(\operatorname{tg} \frac{3\pi}{8})^{x+2} = -7 - x^3;$

б) $(\sin \frac{\pi}{10})^{x-3} = \sqrt[4]{x-2}.$

a) $(\text{tg}\frac{3\pi}{8})^{x+2} = -7 - x^3$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом анализа свойств функций, стоящих в левой и правой частях.

Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = (\text{tg}\frac{3\pi}{8})^{x+2}$.

Это показательная функция. Оценим её основание $a = \text{tg}\frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$). Поскольку $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{4}$, а функция тангенс возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то $\text{tg}\frac{3\pi}{8} > \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$. Так как основание степени больше 1, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Рассмотрим функцию в правой части: $g(x) = -7 - x^3$.

Это кубическая функция. Для определения её монотонности найдем производную: $g'(x) = (-7 - x^3)' = -3x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $g'(x) = -3x^2 \le 0$ для любого $x$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.

Уравнение вида $f(x) = g(x)$, где одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, может иметь не более одного решения. Попробуем найти это решение методом подбора.

Проверим, является ли $x=-2$ корнем уравнения:

Подставим $x=-2$ в левую часть: $(\text{tg}\frac{3\pi}{8})^{-2+2} = (\text{tg}\frac{3\pi}{8})^0 = 1$.

Подставим $x=-2$ в правую часть: $-7 - (-2)^3 = -7 - (-8) = -7 + 8 = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x=-2$ является корнем уравнения. Поскольку это единственно возможное решение, других корней нет.

Ответ: $-2$.

б) $(\sin\frac{\pi}{10})^{x-3} = \sqrt[4]{x-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим свойства функций в левой и правой частях уравнения на их общей области определения.

Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = (\sin\frac{\pi}{10})^{x-3}$.

Это показательная функция. Оценим её основание $a = \sin\frac{\pi}{10}$. Угол $\frac{\pi}{10}$ находится в первой четверти, и $0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $0 < \sin\frac{\pi}{10} < \sin\frac{\pi}{2} = 1$. Так как основание степени $a$ находится в интервале $(0, 1)$, функция $f(x)$ является строго убывающей на своей области определения.

Рассмотрим функцию в правой части: $g(x) = \sqrt[4]{x-2}$.

Эта функция является композицией двух возрастающих функций: $t(x) = x-2$ (линейная с положительным коэффициентом) и $h(t) = \sqrt[4]{t}$ (степенная с показателем $\frac{1}{4} > 0$). Композиция возрастающих функций является возрастающей функцией. Следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает на своей области определения $x \ge 2$.

Уравнение, в котором строго убывающая функция равна строго возрастающей, может иметь не более одного решения. Найдем это решение методом подбора, учитывая ОДЗ.

Проверим, является ли $x=3$ корнем уравнения ($x=3$ входит в ОДЗ):

Подставим $x=3$ в левую часть: $(\sin\frac{\pi}{10})^{3-3} = (\sin\frac{\pi}{10})^0 = 1$.

Подставим $x=3$ в правую часть: $\sqrt[4]{3-2} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x=3$ является корнем уравнения. Поскольку это единственно возможное решение, других корней нет.

Ответ: $3$.