Номер 11.74, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.74, страница 72.

11.74. a) $2^x \ge \frac{2}{x}$;

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$;

в) $5^x \le \frac{5}{x}$;

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$.

а) $2^x \ge \frac{2}{x}$

Решим данное неравенство графическим методом. Для этого рассмотрим две функции: $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \frac{2}{x}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1$ находится на или выше графика функции $y_2$.

1. Функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция с основанием больше 1. Она является возрастающей на всей числовой оси и всегда принимает положительные значения ($y_1 > 0$).

2. Функция $y_2 = \frac{2}{x}$ — это гипербола, определенная для всех $x \ne 0$. При $x > 0$ значения $y_2$ положительны, а при $x < 0$ — отрицательны.

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x < 0$, то $y_1 = 2^x$ всегда положительна, а $y_2 = \frac{2}{x}$ всегда отрицательна. Следовательно, на этом промежутке $2^x > \frac{2}{x}$ выполняется всегда. Таким образом, все $x \in (-\infty, 0)$ являются решениями.
• Если $x > 0$, обе функции положительны. Функция $y_1 = 2^x$ возрастает, а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ убывает. Это значит, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения подбором. При $x=1$ получаем: $y_1(1) = 2^1 = 2$ и $y_2(1) = \frac{2}{1} = 2$. Значит, $x=1$ — точка пересечения. Так как $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то при $x > 1$ будет выполняться $2^x > \frac{2}{x}$, а при $0 < x < 1$ будет $2^x < \frac{2}{x}$. Условию $2^x \ge \frac{2}{x}$ удовлетворяет промежуток $[1, \infty)$.

Объединяя решения для $x < 0$ и $x > 0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$

Решим неравенство графически. Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2(x) = -\frac{4}{x}$.

1. Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная функция с основанием меньше 1. Она является убывающей и всегда положительной ($y_1 > 0$).

2. Функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ — гипербола, определенная для всех $x \ne 0$. При $x > 0$ значения $y_2$ отрицательны, а при $x < 0$ — положительны.

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x > 0$, то $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ положительна, а $y_2 = -\frac{4}{x}$ отрицательна. Неравенство $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$ (положительное число меньше отрицательного) не может выполняться. Решений на этом промежутке нет.
• Если $x < 0$, обе функции положительны. Найдем точку пересечения их графиков. Подставим $x=-1$: $y_1(-1) = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$ и $y_2(-1) = -\frac{4}{-1} = 4$. Точка пересечения — $x=-1$. Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{1}{4})^x + \frac{4}{x}$. Нам нужно найти, где $f(x) < 0$. Мы знаем, что $f(-1) = 0$. Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{4})^x \ln(\frac{1}{4}) - \frac{4}{x^2} = -(\frac{1}{4})^x \ln(4) - \frac{4}{x^2}$. Так как $(\frac{1}{4})^x > 0$, $\ln(4) > 0$ и $x^2 > 0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x \ne 0$. Это значит, что функция $f(x)$ является убывающей. Поскольку $f(x)$ убывает и $f(-1)=0$, то при $x > -1$ значения $f(x)$ будут меньше $f(-1)$, то есть $f(x) < 0$. Учитывая, что мы рассматриваем случай $x < 0$, получаем решение $(-1, 0)$.

Таким образом, решение неравенства — это интервал, найденный во втором случае.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

в) $5^x \le \frac{5}{x}$

Решим неравенство графическим методом. Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = \frac{5}{x}$.

1. Функция $y_1 = 5^x$ — возрастающая показательная функция, всегда положительная.

2. Функция $y_2 = \frac{5}{x}$ — гипербола, расположенная в I и III четвертях ($y_2 > 0$ при $x > 0$ и $y_2 < 0$ при $x < 0$).

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x < 0$, то $y_1 = 5^x$ положительна, а $y_2 = \frac{5}{x}$ отрицательна. Неравенство $5^x \le \frac{5}{x}$ (положительное число меньше или равно отрицательному) не выполняется. Решений на этом промежутке нет.
• Если $x > 0$, обе функции положительны. $y_1 = 5^x$ возрастает, а $y_2 = \frac{5}{x}$ убывает. Их графики пересекаются не более одного раза. Найдем точку пересечения подбором: при $x=1$ имеем $y_1(1)=5^1=5$ и $y_2(1)=\frac{5}{1}=5$. Точка пересечения — $x=1$. Нам нужно, чтобы $y_1 \le y_2$. Поскольку $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то при $0 < x < 1$ будет $5^x < \frac{5}{x}$, а при $x > 1$ будет $5^x > \frac{5}{x}$. Равенство достигается при $x=1$. Следовательно, решение на этом промежутке — $(0, 1]$.

Итоговое решение — это решение, найденное во втором случае.

Ответ: $x \in (0, 1]$.

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$

Решим неравенство графически. Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{8})^x$ и $y_2(x) = -\frac{8}{x}$.

1. Функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ — убывающая показательная функция, всегда положительная.

2. Функция $y_2 = -\frac{8}{x}$ — гипербола, расположенная во II и IV четвертях ($y_2 > 0$ при $x < 0$ и $y_2 < 0$ при $x > 0$).

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x > 0$, то $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ положительна, а $y_2 = -\frac{8}{x}$ отрицательна. Неравенство $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$ (положительное число больше отрицательного) выполняется всегда. Таким образом, все $x \in (0, \infty)$ являются решениями.
• Если $x < 0$, обе функции положительны. Найдем точку пересечения их графиков. При $x=-1$ имеем: $y_1(-1) = (\frac{1}{8})^{-1} = 8$ и $y_2(-1) = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка пересечения — $x=-1$. Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{1}{8})^x + \frac{8}{x}$. Нам нужно найти, где $f(x) > 0$. Мы знаем, что $f(-1)=0$. Производная $f'(x) = -(\frac{1}{8})^x \ln(8) - \frac{8}{x^2}$ всегда отрицательна при $x \ne 0$. Значит, функция $f(x)$ убывающая. Поскольку $f(x)$ убывает и $f(-1)=0$, то при $x < -1$ значения $f(x)$ будут больше $f(-1)$, то есть $f(x) > 0$. Таким образом, решение на этом промежутке — $(-\infty, -1)$.

Объединяя решения для $x > 0$ и $x < 0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.