Номер 11.72, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.72, страница 71.

11.72. При каких значениях x график заданной показательной функции расположен ниже графика указанной линейной функции:

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x - 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x - 2$;

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$;

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5?

Чтобы найти значения x, при которых график показательной функции расположен ниже графика линейной функции, необходимо решить соответствующее неравенство $y_{показательная} < y_{линейная}$. Для решения таких трансцендентных неравенств мы проанализируем свойства функций (монотонность) и найдем точки их пересечения, если они существуют, часто используя метод подбора.

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x - 1$

Требуется решить неравенство $2^x < -\frac{3}{2}x - 1$. Рассмотрим функции $f(x) = 2^x$ и $g(x) = -\frac{3}{2}x - 1$. Функция $f(x) = 2^x$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Функция $g(x) = -\frac{3}{2}x - 1$ является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент $k = -\frac{3}{2} < 0$. Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения подбором. Проверим $x = -1$:
$f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
$g(-1) = -\frac{3}{2}(-1) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
Так как $f(-1) = g(-1)$, графики пересекаются в точке с абсциссой $x = -1$. Учитывая монотонность функций, при $x < -1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$ (возрастающая функция будет "ниже" убывающей слева от точки пересечения). Следовательно, график функции $y = 2^x$ расположен ниже графика функции $y = -\frac{3}{2}x - 1$ при $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x - 2$

Требуется решить неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x < -x - 2$. Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ и $g(x) = -x - 2$. Обе функции являются убывающими на всей числовой оси. Проанализируем разность функций $h(x) = f(x) - g(x) = 2^{-x} - (-x-2) = 2^{-x} + x + 2$. Нам нужно найти, при каких x выполняется $h(x) < 0$. Найдем производную функции $h(x)$, чтобы исследовать ее на экстремумы: $h'(x) = (2^{-x} + x + 2)' = -2^{-x}\ln 2 + 1$. Приравняем производную к нулю: $1 - 2^{-x}\ln 2 = 0 \implies 2^{-x} = \frac{1}{\ln 2}$. Это точка минимума, так как вторая производная $h''(x) = (\ln 2)^2 \cdot 2^{-x} > 0$ для любого x. Минимальное значение функции $h(x)$ равно $h_{min} = 2^{-x} + x + 2$. Из условия $2^{-x} = \frac{1}{\ln 2}$ находим $x = -\log_2(\ln 2)$. $h_{min} = \frac{1}{\ln 2} - \log_2(\ln 2) + 2$. Оценим значение $h_{min}$. Так как $2 < e < 3$, то $\ln 2 < \ln e = 1$. А так как $e > 2$, то $\sqrt{e} > \sqrt{2} \implies \ln(\sqrt{e}) > \ln(\sqrt{2}) \implies 0.5 > 0.5\ln 2$ (ошибка, $\sqrt{e} < 2$). Поскольку $e \approx 2.718$, то $\ln 2 \approx 0.693$. Таким образом, $\frac{1}{\ln 2} \approx \frac{1}{0.693} \approx 1.44$. $\log_2(\ln 2) = \frac{\ln(\ln 2)}{\ln 2} \approx \frac{\ln(0.693)}{0.693} \approx \frac{-0.367}{0.693} \approx -0.53$. $h_{min} \approx 1.44 - (-0.53) + 2$ (ошибка в знаке x). $x = \log_2(\ln 2)$. $h_{min} = \frac{1}{\ln 2} + \log_2(\ln 2) + 2 \approx 1.44 - 0.53 + 2 = 2.91 > 0$. Минимальное значение функции $h(x)$ положительно, следовательно, $h(x) = 2^{-x} + x + 2 > 0$ для всех действительных x. Это означает, что $2^{-x} > -x - 2$ для всех x, и неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x < -x - 2$ не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$

Требуется решить неравенство $\left(\frac{1}{5}\right)^x < 3x + 1$. Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ и $g(x) = 3x + 1$. Функция $f(x)$ является строго убывающей. Функция $g(x)$ является строго возрастающей ($k=3 > 0$). Их графики могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения подбором. При $x = 0$:
$f(0) = \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$
$g(0) = 3(0) + 1 = 1$
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 0$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 0$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$ (убывающая функция станет "ниже" возрастающей справа от точки пересечения). Следовательно, график функции $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ расположен ниже графика функции $y = 3x + 1$ при $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5$

Требуется решить неравенство $3^x < -2x + 5$. Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = -2x + 5$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей. Функция $g(x)$ является строго убывающей ($k=-2 < 0$). Их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем ее подбором. При $x = 1$:
$f(1) = 3^1 = 3$
$g(1) = -2(1) + 5 = 3$
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 1$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < 1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 3^x$ расположен ниже графика функции $y = -2x + 5$ при $x < 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.