Номер 11.66, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.66, страница 71.

11.66. a) $2^x = \frac{2}{x};$

б) $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x};$

В) $5^x = \frac{5}{x};$

Г) $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}.$

а) $2^x = \frac{2}{x}$

Для решения данного уравнения рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям: $f(x) = 2^x$ и $g(x) = \frac{2}{x}$. Решение уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков этих функций.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем дроби в правой части, поэтому $x \neq 0$.

Показательная функция $f(x) = 2^x$ принимает только положительные значения. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть положительной: $\frac{2}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен быть положительным.

Рассмотрим поведение функций на промежутке $(0; +\infty)$:

Функция $f(x) = 2^x$ является строго возрастающей на всей области определения.

Функция $g(x) = \frac{2}{x}$ (гипербола) является строго убывающей на промежутке $(0; +\infty)$.

Поскольку на промежутке $(0; +\infty)$ одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более одного раза. Это означает, что уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $\frac{2}{1} = 2$.

Так как левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является корнем уравнения. Учитывая, что корень единственный, это и есть решение.

Ответ: 1.

б) $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x}$

Рассмотрим две функции: $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = -\frac{4}{x}$.

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ всегда положительна. Значит, правая часть уравнения также должна быть положительной: $-\frac{4}{x} > 0$. Умножив неравенство на $-1$ и изменив знак, получим $\frac{4}{x} < 0$, что верно при $x < 0$. Следовательно, корень уравнения, если он существует, должен быть отрицательным.

Рассмотрим поведение функций на промежутке $(-\infty; 0)$:

Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x = 4^{-x}$ является строго убывающей.

Функция $g(x) = -\frac{4}{x}$ является строго возрастающей (ее производная $g'(x) = \frac{4}{x^2}$ положительна для всех $x \neq 0$).

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень подбором. Проверим $x=-1$:

Левая часть: $(\frac{1}{4})^{-1} = 4^1 = 4$.

Правая часть: $-\frac{4}{-1} = 4$.

Левая и правая части равны ($4=4$), следовательно, $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: -1.

в) $5^x = \frac{5}{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = \frac{5}{x}$.

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$.

Функция $f(x) = 5^x$ всегда положительна, поэтому $\frac{5}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$. Корень ищем на промежутке $(0; +\infty)$.

На этом промежутке функция $f(x) = 5^x$ строго возрастает, а функция $g(x) = \frac{5}{x}$ строго убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень. Проверим $x=1$:

Левая часть: $5^1 = 5$.

Правая часть: $\frac{5}{1} = 5$.

Поскольку $5=5$, $x=1$ является единственным решением.

Ответ: 1.

г) $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{8})^x$ и $g(x) = -\frac{8}{x}$.

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{8})^x$ всегда положительна, поэтому $-\frac{8}{x} > 0$, что эквивалентно $\frac{8}{x} < 0$. Это неравенство верно при $x < 0$. Корень ищем на промежутке $(-\infty; 0)$.

На этом промежутке функция $f(x) = (\frac{1}{8})^x$ строго убывает, а функция $g(x) = -\frac{8}{x}$ строго возрастает. Следовательно, у уравнения может быть не более одного корня.

Подбором находим корень. Проверим $x=-1$:

Левая часть: $(\frac{1}{8})^{-1} = 8^1 = 8$.

Правая часть: $-\frac{8}{-1} = 8$.

Так как $8=8$, $x=-1$ является единственным решением.

Ответ: -1.