Номер 11.64, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.64, страница 70.

11.64. a) $3^x = 4 - x;$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = x + 3;$

B) $5^x = 6 - x;$

Г) $\left(\frac{1}{7}\right)^x = x + 8.$

а) $3^x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде аналитически затруднительно. Решим его, используя свойства функций. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$.

1. Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой прямой.

2. Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $k = -1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = 1$: Левая часть: $3^1 = 3$. Правая часть: $4 - 1 = 3$. Поскольку левая и правая части равны ($3 = 3$), $x = 1$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x = 1$

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Решим это уравнение, анализируя свойства функций, стоящих в левой и правой частях. Рассмотрим функции: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = x + 3$.

1. Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Следовательно, эта функция строго убывает на всей области определения.

2. Функция $y_2(x) = x + 3$ является линейной с угловым коэффициентом $k = 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой прямой.

Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Найдем корень методом подбора.

При $x = -1$: Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$. Правая часть: $-1 + 3 = 2$. Равенство выполняется ($2 = 2$), значит, $x = -1$ является корнем. Поскольку решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: $x = -1$

в) $5^x = 6 - x$

Это уравнение также решается с помощью анализа свойств функций. Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = 6 - x$.

1. Функция $y_1(x) = 5^x$ — показательная с основанием $5 > 1$, поэтому она строго возрастающая.

2. Функция $y_2(x) = 6 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом ($k = -1$), поэтому она строго убывающая.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Подберем корень, проверяя целые числа.

При $x = 1$: Левая часть: $5^1 = 5$. Правая часть: $6 - 1 = 5$. Левая и правая части равны, следовательно, $x = 1$ — корень уравнения. В силу единственности это окончательный ответ.

Ответ: $x = 1$

г) $(\frac{1}{7})^x = x + 8$

Решим уравнение, используя метод оценки монотонности функций. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $y_2(x) = x + 8$.

1. Функция $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ — показательная, основание $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, значит, функция строго убывает.

2. Функция $y_2(x) = x + 8$ — линейная, угловой коэффициент $k = 1 > 0$, значит, функция строго возрастает.

Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

При $x = -1$: Левая часть: $(\frac{1}{7})^{-1} = 7^1 = 7$. Правая часть: $-1 + 8 = 7$. Так как $7 = 7$, $x = -1$ является решением. Учитывая, что решение единственное, других корней нет.

Ответ: $x = -1$