Номер 11.57, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.57, страница 70.

11.57. a) $y = |2^x - 4|;$

б) $y = |9 - 3x|.$

а) $y = |2^x - 4|$

Для построения графика функции $y = |2^x - 4|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 2^x - 4$. Этот график получается из графика показательной функции $y = 2^x$ сдвигом вниз по оси ординат на 4 единицы.

• Область определения функции $y_1 = 2^x - 4$ — все действительные числа, $D(y_1) = (-\infty; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота графика $y = 2^x$ — это ось абсцисс ($y=0$). При сдвиге вниз на 4 единицы асимптота также смещается и становится $y = -4$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  • Пересечение с осью OY: $x=0$, $y_1 = 2^0 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(0, -3)$.
  • Пересечение с осью OX: $y_1=0$, $2^x - 4 = 0$, $2^x = 4$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.
• Функция $y_1 = 2^x - 4$ возрастает на всей области определения.

2. Теперь построим график функции $y = |2^x - 4|$. По определению модуля, $y = |f(x)|$ означает, что та часть графика $y=f(x)$, которая находится над осью OX или на ней ($y \ge 0$), остается без изменений, а та часть, которая находится под осью OX ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

Исходя из анализа функции $y_1 = 2^x - 4$, мы знаем, что:

• $y_1 \ge 0$ при $2^x - 4 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$. На этом промежутке график $y = |2^x - 4|$ совпадает с графиком $y_1 = 2^x - 4$.
• $y_1 < 0$ при $2^x - 4 < 0$, то есть при $x < 2$. На этом промежутке график $y = |2^x - 4|$ получается отражением графика $y_1 = 2^x - 4$ относительно оси OX. То есть, на этом промежутке $y = -(2^x - 4) = 4 - 2^x$.

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 2^x - 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 4 - 2^x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Итоговый график будет иметь следующие характеристики:

• Вершина ("излом") графика находится в точке $(2, 0)$.
• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = |2^0 - 4| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• При $x \to -\infty$, $2^x \to 0$, следовательно $y \to |0 - 4| = 4$. Таким образом, у графика есть левосторонняя горизонтальная асимптота $y=4$.
• При $x \to +\infty$, $y = 2^x - 4 \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = |2^x - 4|$ строится в два этапа. Сначала строится график показательной функции $y_1 = 2^x - 4$, который является графиком $y = 2^x$, смещенным на 4 единицы вниз. Затем часть графика $y_1$, расположенная ниже оси абсцисс (для $x<2$), симметрично отражается относительно этой оси.

б) $y = |9 - 3^x|$

Построение графика этой функции аналогично предыдущему пункту.

1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 9 - 3^x$. Этот график получается из графика показательной функции $y = 3^x$ следующими преобразованиями: сначала симметричное отражение относительно оси OX (получаем $y = -3^x$), а затем сдвиг вверх по оси OY на 9 единиц.

• Область определения функции $y_1 = 9 - 3^x$ — все действительные числа, $D(y_1) = (-\infty; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота графика $y = -3^x$ — это ось абсцисс ($y=0$). При сдвиге вверх на 9 единиц асимптота становится $y = 9$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  • Пересечение с осью OY: $x=0$, $y_1 = 9 - 3^0 = 9 - 1 = 8$. Точка $(0, 8)$.
  • Пересечение с осью OX: $y_1=0$, $9 - 3^x = 0$, $3^x = 9$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.
• Функция $y_1 = 9 - 3^x$ убывает на всей области определения.

2. Теперь построим график функции $y = |9 - 3^x|$. Часть графика $y_1 = 9 - 3^x$, где $y_1 \ge 0$, остается без изменений. Часть, где $y_1 < 0$, отражается симметрично относительно оси OX.

Проанализируем знак функции $y_1 = 9 - 3^x$:

• $y_1 \ge 0$ при $9 - 3^x \ge 0$, то есть при $3^x \le 9$, что означает $x \le 2$. На этом промежутке график $y = |9 - 3^x|$ совпадает с графиком $y_1 = 9 - 3^x$.
• $y_1 < 0$ при $9 - 3^x < 0$, то есть при $3^x > 9$, что означает $x > 2$. На этом промежутке график $y = |9 - 3^x|$ получается отражением графика $y_1 = 9 - 3^x$ относительно оси OX. То есть, на этом промежутке $y = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 9 - 3^x, & \text{если } x \le 2 \\ 3^x - 9, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Итоговый график будет иметь следующие характеристики:

• Вершина ("излом") графика находится в точке $(2, 0)$.
• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = |9 - 3^0| = |8| = 8$. Точка $(0, 8)$.
• При $x \to -\infty$, $3^x \to 0$, следовательно $y \to |9 - 0| = 9$. Таким образом, у графика есть левосторонняя горизонтальная асимптота $y=9$.
• При $x \to +\infty$, $y = 3^x - 9 \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = |9 - 3^x|$ строится путем построения графика $y_1 = 9 - 3^x$ (получается из $y=3^x$ отражением относительно оси OX и сдвигом на 9 вверх) с последующим симметричным отражением части графика, лежащей ниже оси абсцисс (для $x>2$), относительно этой оси.