Номер 11.55, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.55, страница 69.

11.55. Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } 0 \le x < \pi \\ x - \pi - 1, & \text{если } x \ge \pi \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le -\frac{\pi}{2} \\ x + \frac{\pi}{2} - 1, & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x \le 0 \\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

а)

Функция задана кусочно:$y = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } 0 \le x < \pi \\ x - \pi - 1, & \text{если } x \ge \pi \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $x < 0$ строим график функции $y = 4^x$. Это показательная функция с основанием больше 1 ($4>1$), ее график возрастает. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (ось Ox является горизонтальной асимптотой). График проходит через точку $(-1, 4^{-1}) = (-1, 0.25)$. При $x \to 0^-$, $y \to 4^0 = 1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит этому участку графика, на графике в этом месте будет «выколотая» точка.

2. При $0 \le x < \pi$ строим график функции $y = \cos x$. Это часть стандартной косинусоиды.Найдем значения на концах промежутка:При $x=0$, $y = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$ принадлежит графику. Она совпадает с предельной точкой предыдущего участка, значит в точке $x=0$ разрыва нет, и «выколотая» точка закрашивается.При $x \to \pi^-$, $y \to \cos(\pi) = -1$. Точка $(\pi, -1)$ не принадлежит этому участку графика, на графике она будет «выколотой».На этом интервале график пересекает ось Ox в точке $(\pi/2, 0)$, так как $\cos(\pi/2) = 0$.

3. При $x \ge \pi$ строим график функции $y = x - \pi - 1$. Это линейная функция, ее график — луч, выходящий из точки $(\pi, y(\pi))$.Найдем значение в начальной точке:При $x=\pi$, $y = \pi - \pi - 1 = -1$. Точка $(\pi, -1)$ принадлежит графику. Она совпадает с предельной точкой предыдущего участка, поэтому разрыва в точке $x=\pi$ нет.Для построения луча найдем еще одну точку. Например, при $x = \pi+1$, $y = (\pi+1) - \pi - 1 = 0$. Луч проходит через точку $(\pi+1, 0)$.

Объединяя все три части, получаем итоговый график. Функция является непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: График построен на основе трех функций: возрастающей показательной функции $y=4^x$ на $(-\infty, 0)$, части косинусоиды $y=\cos x$ на $[0, \pi)$ и луча $y=x-\pi-1$ на $[\pi, +\infty)$. Функция непрерывна. График представлен на рисунке выше.

б)

Функция задана кусочно:$y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le -\frac{\pi}{2} \\ x + \frac{\pi}{2} - 1, & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x \le 0 \\ (\frac{1}{3})^x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $x \le -\frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = \sin x$. Это часть стандартной синусоиды.В конечной точке промежутка $x = -\pi/2$, значение функции $y = \sin(-\pi/2) = -1$. Точка $(-\pi/2, -1)$ принадлежит графику.График проходит через точки $(-\pi, 0)$, $(-3\pi/2, 1)$ и так далее, осциллируя между -1 и 1.

2. При $-\frac{\pi}{2} < x \le 0$ строим график функции $y = x + \frac{\pi}{2} - 1$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой (без левого конца).Найдем значения на концах промежутка:При $x \to (-\pi/2)^+$, $y \to -\pi/2 + \pi/2 - 1 = -1$. Точка $(-\pi/2, -1)$ является предельной. Так как на предыдущем участке $y(-\pi/2)=-1$, функция в точке $x = -\pi/2$ непрерывна.При $x=0$, $y = 0 + \pi/2 - 1 = \pi/2 - 1$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $y(0) \approx 1.57 - 1 = 0.57$. Точка $(0, \pi/2 - 1)$ принадлежит графику.

3. При $x > 0$ строим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция с основанием меньше 1 ($0 < 1/3 < 1$), ее график убывает.При $x \to 0^+$, $y \to (1/3)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит этому участку («выколотая» точка).Сравним значение в точке $x=0$ со значением на предыдущем участке: $y(0) = \pi/2 - 1 \approx 0.57$, а предел справа равен 1. Так как $1 \ne \pi/2 - 1$, функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.При $x \to +\infty$, $y \to 0$ (ось Ox является горизонтальной асимптотой). График проходит через точку $(1, 1/3)$.

Объединяя все три части, получаем итоговый график. Функция непрерывна всюду, кроме точки $x=0$, где она терпит разрыв.

Ответ: График построен на основе трех функций: части синусоиды $y=\sin x$ на $(-\infty, -\pi/2]$, отрезка прямой $y=x+\pi/2-1$ на $(-\pi/2, 0]$ и убывающей показательной функции $y=(1/3)^x$ на $(0, +\infty)$. Функция имеет разрыв в точке $x=0$. График представлен на рисунке выше.