Номер 11.51, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.51, страница 69.

11.51. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2^x, \text{ если } x \ge 0 \\ 3x + 1, \text{ если } x < 0 \end{cases}$.

a) Вычислите $f(-3)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(2)$; $f(3,5)$.

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Для вычисления значений функции $y = f(x)$ необходимо определить, для какого интервала подходит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу из определения кусочно-заданной функции.

• Вычисление $f(-3)$:
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
  $f(-3) = 3 \cdot (-3) + 1 = -9 + 1 = -8$.
• Вычисление $f(-2,5)$:
  Аргумент $x = -2,5$. Так как $-2,5 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
  $f(-2,5) = 3 \cdot (-2,5) + 1 = -7,5 + 1 = -6,5$.
• Вычисление $f(0)$:
  Аргумент $x = 0$. Так как $0 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
  $f(0) = 2^0 = 1$.
• Вычисление $f(2)$:
  Аргумент $x = 2$. Так как $2 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
  $f(2) = 2^2 = 4$.
• Вычисление $f(3,5)$:
  Аргумент $x = 3,5$. Так как $3,5 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
  $f(3,5) = 2^{3,5} = 2^{7/2} = \sqrt{2^7} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $f(-3)=-8$; $f(-2,5)=-6,5$; $f(0)=1$; $f(2)=4$; $f(3,5)=8\sqrt{2}$.

б) Построение и чтение графика функции $y = f(x)$.

Построение графика:

График функции состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках оси $x$.

1. На интервале $(-\infty, 0)$ график функции $y = f(x)$ совпадает с графиком линейной функции $y = 3x + 1$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Например, $(-1, -2)$ и $(-2, -5)$. Поскольку интервал строго $x < 0$, точка на оси $y$ не включается. Предел функции при $x \to 0^-$ равен $3 \cdot 0 + 1 = 1$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, который заканчивается в точке $(0, 1)$, сама точка при этом выколота.
2. На полуинтервале $[0, +\infty)$ график функции совпадает с графиком показательной функции $y = 2^x$. Этот график начинается в точке $(0, 2^0) = (0, 1)$, которая "закрашивает" выколотую точку из предыдущего шага, и далее возрастает, проходя через точки $(1, 2)$, $(2, 4)$ и т.д.

В итоге получается единый непрерывный график, состоящий из луча и части экспоненты, которые плавно соединяются в точке $(0, 1)$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: функция принимает все действительные значения. Для $x < 0$, значения $y = 3x+1$ покрывают интервал $(-\infty, 1)$. Для $x \ge 0$, значения $y = 2^x$ покрывают полуинтервал $[1, +\infty)$. Объединяя их, получаем $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как не выполняются условия $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$. Например, $f(2) = 4$, а $f(-2) = 3(-2)+1 = -5$.
• Нули функции: $f(x)=0$. Для $x < 0$ решаем уравнение $3x + 1 = 0$, откуда $x = -1/3$. Для $x \ge 0$ уравнение $2^x = 0$ не имеет решений. Таким образом, у функции один нуль: $x = -1/3$.
• Промежутки знакопостоянства: Исходя из нуля функции и ее возрастания, имеем: $f(x) > 0$ при $x \in (-1/3; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1/3)$.
• Монотонность: На интервале $(-\infty, 0)$ функция возрастает, так как производная $(3x+1)'=3 > 0$. На интервале $(0, +\infty)$ функция также возрастает, так как производная $(2^x)'=2^x\ln 2 > 0$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: Так как функция строго монотонна, у нее нет точек локального максимума или минимума.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции представляет собой комбинацию луча $y=3x+1$ на интервале $(-\infty, 0)$ и кривой $y=2^x$ на полуинтервале $[0, +\infty)$, соединенных в точке $(0,1)$. Основные свойства: область определения и значений – все действительные числа; функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси; единственный корень $x=-1/3$; не является ни четной, ни нечетной; экстремумов не имеет.